【正文】 y y yy y y??????? ? ? ? ?? ? ? ? ?和 分別稱為 f (x)在 xi 處以 h 為步長的 m 階向前差分和 m 階向后差分 . 稱為差分算子 . ,??差分的性質(zhì) Prop1: 各階差分可用函數(shù)值線性表示 , 其計算公式為 12 12 ( 1 ) ( 1 )m s s mi m i m m i m m i m m i s iy y C y C y C y y? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?其中 為組合數(shù) , 即 smC ( 1 ) ( 1 )!smm m m sCs? ? ??Prop2: 差分與差商的關(guān)系 001[ , , , ] !!nnnn nnyyf x x xn h n h????Prop3: 差分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系 ()0 ()n n ny h f ??? ? 在 x0 與 xn 之間 () ()n n nny h f ??? ? 在 x0 與 xn 之間 23001 1 022 2 1 0233 3 2 1 0231 2 3 0ni i i i i inn n n n nx y y y y yxyx y yx y y yx y y y yx y y y y y? ? ?? ? ? ????? ? ?? ? ? ?向前差分表 二、等距節(jié)點插值 當(dāng)插值節(jié)點 x0 ,…, xn 為等距分布時 , Newton插值公式可以簡化 . 給定等距節(jié)點 后 , 將差分與差商的關(guān)系式代入 Newton插值多項式 , 可得 0 ( 0 , 1 , , )ix x ih i n? ? ?2000 0 0 1200 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )2!( ) ( ) ( )!nnnnyyN x f x x x x x x xhhyx x x x x xnh???? ? ? ? ? ? ??? ? ? ?令 , 則有 0 ,0x x t h t? ? ?稱為 Newton前插多項式 , 或 Newton前插公式 . 20 0 0 0 0( 1 ) ( 1 ) ( 1 )( ) ( )2 ! !nnt t t t t nN x t h f x t y y yn? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?Newton前插公式的 余項 ( 1 )1 ( 1 )01( ) ( 1 ) ( )( ) ( ) ( )( 1 ) ! ( 1 ) !nnnnnf t t t nR x t h x h fnn? ??? ?????? ? ???類似地 , 如果要求 xn 附近的某點 x 的函數(shù)值 , 設(shè) xn ?1 x xn , 記 x = xn + t h (?1 t 0), 則有 2( 1 ) ( 1 ) ( 1 )( ) ( )2 ! !nn n n n n nt t t t t nN x t h f x t y y yn? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?稱為 Newton 后插公式 . 其余項為 ( 1 )110()( ) ( ) ( 1 ) ( 1 ) ( )( 1 ) !nnnn n nnfR x R x t h h t t t nnxx?????? ? ? ? ? ???? 注 : 若要計算的插值點 x 較靠近點 x0 , 則用向前插值公式 ,這時 t = (x ? x0)/n 的值較小 , 數(shù)值穩(wěn)定性較好 . 反之 , 若 x 靠近 xn , 則用向后插值公式 . 向前與向后差分的關(guān)系 221 2 0, , , nnn n n n ny y y y y y??? ? ? ? ? ? ? ? ?注 : 計算靠近 x0 或 xn 的點的值時 , 都只需構(gòu)造向前差分表 . 22120( 1 )( ) ( ) ( 1 )2!( 1 ) ( 1 )( 1 ) ,!n n n n n nnnttN x N x th y t y yt t t nyn???? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ?故后插公式又可表示成 : 例 : 給定 f (x)在等距節(jié)點上的函數(shù)值表如下 : xi f (xi) 分別用 Newton向前和向后差分公式 , 求 f () 及 f ()的近似值 . 解 : 先構(gòu)造向前差分表如下 : xi f i △ f i △ 2f i △ 3f i x0 = , h = , x3 = . 分別用差分表中對角線上的值和最后一行的值 , 得 Newton向前和向后插值公式如下 : 33( 1 ) ( 1 ) ( 2 )( 0 . 4 0 . 2 ) 1 . 5 0 . 3 0 . 1 0 . 12 3 !( 1 ) ( 1 ) ( 2 )( 1 0 . 2 ) 2 . 8 0 . 6 0 . 2 0 . 12 3 !t t t t tN t tt t t t tN t t? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ?(1) (2) 當(dāng) x= 時 , 用公式 (1) , 這時 t = (x x0)/h = . 將 t = 代入(1), 得 f ()≈N3()=. 當(dāng) x= 時 , 用公式 (2), 這時 t = (x3 x)/h = . 將 t = 代入(2), 得 f ()≈N3()=. 167。 當(dāng) n=2時：構(gòu)造不超過 2 次的多項式 : 2 0 0 1 0 0 1 2 0 1( ) ( ) [ , ] ( ) [ , , ] ( ) ( )N x f x f x x x x f x x x x x x x? ? ? ? ? ?易知 N2(x)滿足插值條件： 稱之為 2次 Newton插值多項式。 本講主要內(nèi)容 : ● Newton插值多項式的構(gòu)造 ● 差商的定義及性質(zhì) ● 差分的定義及性質(zhì) ● 等距節(jié)點 Newton插值公式 問題 1 求作 n 次多項式 ()nNx0 1 0 2 0 10 1 2 1( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )nnnN x c c x x c x x x xc x x x x x x x x ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?( ) ( ) , 0 , 1 ,n i iN x f x i n?? (2) 為了使 的形式得到簡化 ,引入如下記號 ()nNx0110 1 1( ) 1( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) , 1 , 2 ,i i iixx x x xx x x x x x i n??? ??????? ? ? ? ? (3) (1) 一、 基函數(shù) 使?jié)M足 De f 1: 由式 (3)定義的 n+1個多項式 稱為 Newton插值 的以 x0 , x1,…, xn 為節(jié)點的 基函數(shù) , 即 01( ) , ( ) , , ( )nx x x? ? ?0 0 1 1( ) ( ) ( ) ( )n n nN x c x c x c x? ? ?? ? ? ?可以證明 ,這樣選取的基函數(shù)是 線性無關(guān) 的 , 由此得出的問題1的解 便于求值 , 而且 新增加一個節(jié)點 xn+1時 只需加一個新項 即 11()nncx???1 0 0 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n n n nN x c x c x c x c x? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ?而 1 ( ) ( ) ( )n n nx x x x??? ??依據(jù)條件 (2),可以依次確定 系數(shù) c0 , c1,…, . 如 : 取 x = x0 得 0 0 0( ) ( )nc N x f x??取 x = x2 得 2 0 1 2 0 2 2 0 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )nN x c c x x c x x x x f x? ? ? ? ? ? ??102 0 2 02 0 1 2 0 1 022 0 2 1 2 0 2 1( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )nf x f xf x f x x xN x c c x x x xcx x x x x x x x?? ? ?? ? ? ???? ? ? ?1 0 1 02 1 1 0 2 01 0 1 02 0 2 1( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )f x f x f x f xf x f x x x x xx x x xx x x x??? ? ? ? ????1021202 1 1 0( ) ( )( ) ( ) ()f x f xf x f x xxx x x x?? ?