【正文】 到很高精度，撓度誤差 %，正應(yīng)力誤差 %，這種單元還有一個優(yōu)點，由于把 18個參數(shù)集中在三個結(jié)點上，結(jié)點少， 圖示懸臂梁的計算結(jié)果 圖 （ A） 為懸臂梁的理論解 圖（ B）為常應(yīng)變單元之解，在梁高方面布置了 5排節(jié)點，共 128個單元 ,170個方程。 圖（ C）為 3節(jié)點 18自由度單元 .兩個單元 ,24個方程。 帶寬小。但剛度陣復(fù)雜，形成單剛時間長。 下圖為幾種不同單元在不同自由度下的懸臂梁自由端撓度 的計算值比較： 由此見到矩形單元的精度遠(yuǎn)剛高于三角形元，特別是雜交元，在自由度小 60時，梁高方向只取了一層單元 ,精度仍很好。當(dāng)自由度超過 150時，已趨近于理論的因此引出了進(jìn)一步的問題 —— 矩形剖分，在講矩形剖分前順便向釋一下雜交單元。前述矩陣位移法中對位移函數(shù)要求十分嚴(yán)格 ,不但要連續(xù) ,在單元邊界上要求相鄰單元間位移及某些導(dǎo)數(shù)協(xié)調(diào)。但在落板落殼及裂縫尖端應(yīng)力計算中，構(gòu)造協(xié)調(diào)的位移函數(shù)困難 .于是在單元內(nèi)部采用一個位移函數(shù)在單元邊界上采用另一個獨立的應(yīng)力或位移函數(shù)，用最小勢能 原理論 —— 位移雜交元或在單元內(nèi)部假定一個應(yīng)力場， 在單元邊界上另外采用一個協(xié)調(diào)的位移場，用最小余能 原理求解 —— 應(yīng)力雜交元，后者用度更廣泛一些，詳細(xì) 將以后介紹。 （ 三 ） 矩形剖分 在區(qū)域 Ω上分成若干矩形單元 e的組合，對這些單元同樣可作 Lagrange型和 Hermite型插值。與三角形單元相比，矩形單元除基函數(shù)差別大一些外，其余如唯一可解性，整體連續(xù)性，逼近度及總體自由度的研究均十分類同，因此在下面的研究中只給出基函數(shù)構(gòu)造，其他同學(xué)可自己證明 一下，結(jié)果我們在最后的小結(jié)中還將提到。 1． Largrange型插值 （ 1） 雙線性插值： 面積坐標(biāo)在構(gòu)造三角形單元的基函數(shù)時起到突出作用，其實質(zhì)是作一個坐標(biāo)變換，把 xy平面上的任意三角形變換成為 平面的一標(biāo)準(zhǔn)三角形 OAB，這個方法能否借用到矩形剖分中來呢？試一試。 既對稱又簡單的標(biāo)準(zhǔn)矩形為正方形 D： 對任一 （ 見圖 ） 從 e到標(biāo)準(zhǔn) 矩形 D的坐標(biāo)變換是 () 式中， 為形心 C的坐標(biāo)： 為矩形長 、 寬之半 ， 亦即 (XC,YC) A1(X1,Y1) A2(X2,Y1) A3(X2,Y2) A4(X1,Y2) 0 (1, 1) (1,1) (1,1) (1,1) 1 1 ξ η x2,22121 yyyxxxcc????ξ,η稱為局部坐標(biāo)，用以構(gòu)造基函數(shù)，利用 ξ,η可知四邊 之方程分別為： 下面將構(gòu)造雙線性插值函數(shù) ， 所謂雙線性 L型是指單元 4個頂點給定函數(shù)值后 ， 在 x,y向均為線性變化 ， 在單元內(nèi) 為 x,y的線性函數(shù) 。 利用局部坐標(biāo)，根據(jù)基函數(shù)性質(zhì)，很快就可寫出雙線性插值函數(shù)的基函數(shù)為 寫成統(tǒng)一表達(dá)式： () 為頂點 的局部坐標(biāo) 。 局部坐標(biāo)與長度坐標(biāo)之間的關(guān)系： x方向： y方向： 一維線性插值基函數(shù) 。 這樣二維雙線性插值的基函數(shù)實際上為一維線性插值函數(shù)之乘積 即 () （ 2） 雙二次插值： 雙 k次插值是指一個變量固定時是另一個變量的 k次多項式，雙 k次式共有 k＋ 1個自由度（在一維插值中，二次插值有 3個自由度，加一個中點），故雙二次有 9個系數(shù)。需在 4個頂點 、 4個中點和形心處取已知值 即 及 C點 。 注意方程： 這樣，設(shè) 和 分別為對應(yīng)點 和 C的基函數(shù)，則 同理 () 如果將（ ）式與一維插值中的二次插值比較，可見到雙二次亦可作為一維二次插值的基函數(shù)的乘積而得到。 （ 3） 不完全雙二次插值： 能否去掉形心 C點的插值條件？可以，這樣將得到不完 全的雙二次插值。由于 8個自由度不能決定 9個系數(shù)，考慮去掉雙二次中最高階項 雖然這樣做比三角形剖分時用完全多項式再加限制條件（ E）簡單，又由于雙二次多項式也僅對二次多項式準(zhǔn)確，因此這種去掉的不完全多項式并未損失逼近階，卻減少了總體自由度。換言之精度不降，工作量卻小了，很合算。 唯一可解性容易證明：一個雙二次式要在 8個節(jié)點 （ ）都為 0，必含有因子 —— 這樣 ξ,η為 時共都為 0，由于 L不允許含 ，亦即不許含 ，實際現(xiàn)在 這樣只有 。則 。 構(gòu)造基函數(shù)有兩種方法 方法 1： 直接針對基函數(shù)應(yīng)滿足的條件來構(gòu)造 。 在 e內(nèi)不含 項的雙二次式 。 注意直線 及 之方程為 要求 故 利用對稱性 () 這種方法特點是比較直觀 ， 對復(fù)雜問題則較難推廣 ， 不通用 。 方法 2：注意到無論是完全還是不完全雙二次插值對二次多項式都是準(zhǔn)確的，于是就想用到 “ 不完全 ” 比 “ 完全 ”少了一個形心條件，能否在給定的矩形元 e上，用它四頂 點，四邊中點值表示矩形中心之值呢？用式子表示即 () 其中 為待求的基函數(shù) 用 Taylor 級數(shù)展開 ， 因 為二次多項式 ， 三階以上的微商為零 ， 從而有 （ 想法找出 和 ）之間關(guān)系 得到 兩式加 同理 即得 剩下的問題是將上式中 與 用已知值代替。 在 4邊上再用 Taylor 公式，用 表示相鄰的 ，仿上述途徑得到： （ ） 如 ， ，無論代 ， 都一樣 （ ） 因 是二次式 ， 它的所有二階微商均為常數(shù) ， 即 將 （ ） 中 4式相加 ， 并將 代入 ， 即得 代入式（ ）便有： （ ） 在上式中 已由 和 表示 ， 從 而插值函數(shù)為 ， （ ） （ ） 兩種方法的結(jié)果一樣，這種方法比較通用，但對 簡單問題反倒顯得復(fù)雜。