代數(shù)插值基礎(chǔ)介紹拉格朗日插值公式拉格朗日插值的誤差分析-資料下載頁
2025-09-19 00:54本頁面
【導讀】復雜函數(shù)的計算;光滑曲線的繪制;積分方程的離散化處理;n個相異的實數(shù)，條件稱為插值條件，f稱為被插值函數(shù).從幾何上看，就是尋求一個最低次的多項式，通過全部節(jié)點,即。存在而且是唯一的。故方程組有唯一解.二次插值函數(shù):L=l0y0+l1y1+l2y2，極值點近似計算公式
【正文】 1( )()( 1)1(xnfxR nnn ???? ??算法 : 記 插值節(jié)點為 x0,x1,,xn, f(x)的各階差商為 f0, f1, f2, , fn P(x)= f(x0) + f[x0, x1](x – x0)+ f[x0, x1, x2](x – x0)(x –x1) +...+ f[x0, x1, ...,xn](x – x0)(x –x1)...(x –xn) (1) s← fn (2) 計算 s ← fk+s*(xxk) (k=n1,n2, , 0) (3) N(x)=s 29 已知節(jié)點 x0和 x1處的函數(shù)值及導數(shù)值 00 )( yxf ? 11 )( yxf ? 00 )( mxf ?? 11 )( mxf ??求三次插值函數(shù) H(x)= a0 + a1x + a2x2 + a3x3 滿足插值條件 jj yxH ?)( jj mxH ?? )((j = 0,1) 三次 Hermite插值 x x0 x1 H(x) y0 y1 H’ (x) m0 m1 30 例 2. 已知插值條件 : 求 3次插值函數(shù) . 332210)( xaxaxaaxH ????解 :設(shè) 得 a0=0, a1=0, 列出方程組 ???????03213232aaaa求解 , 得 a2 = 3 , a3 = – 2 所以 ,有 H(x) = 3x2– 2x3 = (3 – 2x)x2 0 1 01 x 0 1 H(x) 0 1 H’ (x) 0 0 31 利用基函數(shù)表示 Hermite插值 )()()()()( 11001100 xmxmxyxyxH ???? ????20110100 ))(21()( xxxxxxxxx???????20100111 ))(21()( xxxxxxxxx???????201100 ))(()( xxxxxxx?????201011 ))(()( xxxxxxx????? x0 x1 1 0 0 0 0 1 0 0 )(0 x?)(1 x?)(0 x??)(1 x??x )(1 x?)(0 x? x0 x1 0 0 1 0 0 0 0 1 )(1 x??)(0 x??x 32 210)4(3 )])([(!4)()()()( xxxxfxHxfxR ????? ?兩點 Hermite插值的誤差估計式 證明 : 由插值條件知 R(x0)=R’ (x0)=0, R(x1)=R’ (x1)=0 構(gòu)造輔助函數(shù) 2120 )())(()()()( xtxtxCtHtftF ?????利用 f(x) – H(x)=C(x)(x – x0)2(x – x1)2 2120 )())(()( xxxxxCxR ???取 x 異于 x0 和 x1, 設(shè) 33 反復應(yīng)用 Roll定理 ,得 F(4)(t)有一個零點設(shè)為 ξ 2120 )())(()()()( xtxtxCtHtftF ?????0)!4)(()()( )4()4( ??? xCfF ??!4)()( )4( ?fxC ?210)4(2120 )])([(!4)()())(()( xxxxfxxxxxCxR ?????? ?顯然 ,F(t)有三個零點 x0, x, x1,由 Roll定理知 ,存在F’ (t)的兩個零點 t0,t1滿足 x0t0t1x1,而 x0和 x1也是F’ (x)的零點 ,故 F’ (x)有四個相異零點 . 34
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