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21多項式插值-資料下載頁

2025-09-21 11:59本頁面

【導(dǎo)讀】商、重節(jié)點差商與埃米特插值。重點是多項式插值方法。函數(shù)解析式未知,通過實驗觀測得到的一組數(shù)據(jù),即在某個?;直容^簡單的函數(shù)p作為f的近似表達(dá)式,函數(shù)f在此點函數(shù)值的近似值。<xn≤b點上的值y0,y1,?極值點、導(dǎo)數(shù)、積分,,n)處與f相等,在其它點x就用。的函數(shù)表“插出”所要點的函數(shù)值。地逼近f,而且還希望它計算簡單。本章先討論插值問題,然后討論數(shù)據(jù)擬合的有關(guān)問題。若記δ=(δ1,δ2,…要求向量δ的泛數(shù)||δ||最小。相應(yīng)的插值法稱為多項式插值法。如何估計用P近似替代f產(chǎn)生的誤差?定理1滿足條件()的插值多項式存在且唯一。Hn中有且僅有一個pn滿足插值條件()式。然而,直接求解方。下面,我們將給出不同形式的便于使用的插

  

【正文】 )( 7 )0 1 7( 8 )0 1 7 81, , , ( )!( ) 7 ! , ( ) 0( ) 7 !2 , 2 , , 2 17 ! 7 !( ) 02 , 2 , , 2 , 2 08 ! 8 !nnf x x x fnf x f xffff???????? ? ? ????? ? ? ???及知第二章 插值與擬合 3 差分和等距節(jié)點插值公式 在實際計算中,經(jīng)常遇到插值節(jié)點等距分布的情形。引入差分作為工具,可使 Newton插值公式得到簡化。 給定 )( xfy ? 的函數(shù)表 )()()()( 1010nnxfxfxfxfxxxx??并記 。),1,0(,)( nkfxfkk ???,10 bxxxa n ????? ?且 ,),2,1(,01 nkhxx kk ????? ? ,nabh ??即 差分 ),1,0(,0 nkkhxx k ????或)( kk xff ??? 記號 — 向前差分算子; ?,)()( 1??????? kkkkk ffhxfxff,)2()2(2121 ?? ?????? kkkkk ffhxfhxff?在 kxx ?)(xf 稱為 點的步長為 h的一階 向前 差分 — 中心差分算子 . ? 定義 — 向后差分算子; ?)()( kk xfhxf ??? ,1 kk ff ?? ?、 向后 、 中心 差分 . 分別 ( 1) 差分及性質(zhì) 第二章 插值與擬合 —二階向前差分; 2 ()kkff? ? ? ? —二階向后差分; )(2 kk ff ????kk ff ???? ? 1kkk fff ??? ?? 12 21????? kk ff212 ?? ??? kkk fff利用一階差分,可定義二階差分為 一般地,可定義 m 階差分為 kmkmkmkmkm fffff 11111 )( ????? ???????????— m 階向前差分 ; 11111 )( ????? ??????????? kmkmkmkmkm fffff— m階向后差分 ; 第二章 插值與擬合 21?kf? 若一階中心差分 ,121 ?? ?? kkk fff??kf2?,1 kk ff ?? ?2121 ?? ? kk ff ??11 2 ?? ??? kkk fff則二階中心差分為 第二章 插值與擬合 并規(guī)定 ,稱其為 零階差分 。 kkkk ffff ????? 000 ?2 1 1 2 1 1 1 1 1 , ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? k m k m k m k m k m k m f f f f f f ? ? ? 為了討論差分的性質(zhì),再引入兩個常用的算子符號。 稱 E為步長 h 的 移位算子 , I為 單位算子 (也稱 不變算子 )。 ., 111 kkkkkk fIfffEfEf ??? ??? 由差分定義并應(yīng)用符號運(yùn)算,可得下列差分的基本性質(zhì)。 ( 1)函數(shù)值與差分可以表示。例如 ?????????????????????????????????????????????????????ninikinknknniikniknknnikiknknnkfinfEIffinfIEffinfIfEf0100)1()()1()()(( ) ( ) ( ) 第二章 插值與擬合 其中 為二項式展開系數(shù)。 )!(! ! ini nin ??????????( 2) 對于 有 0?k010 !1],[ fhkxxxfkkk ???( ) 該式用數(shù)學(xué)歸納法證明。 (3) 設(shè) ,則有 ],[ 00 khxxCf k ??).,(),( 0)(0 kkkk xxfhf ??? ?? ( ) 該式可有( )和( )得到。 下面利用差分構(gòu)造等距節(jié)點插值公式。在 Newton插值公式( )中,用差分代替均差就可以得到等距節(jié)點插值公式。這里只推導(dǎo)常用的前插公式和后插公式。 第二章 插值與擬合 設(shè) 為已知,要計算 x0附近點 處 f(x)的近似值。插值節(jié)點應(yīng)取 于是 ),1,0)(( 0 Nkkhxff k ????)10(0 ???? tthxx 。Nnxxx n )(, 10 ??.)()1()()( 101???????? ? nni inhktttxxx ??將此式及( )代入 Newton插值公式( ),可得到 ????????? 02020 )1(!21)( fttftfthxN n.)1()1(!1 0fntttn n????? ?() 其余項可由( )直接得到 此公式稱為 Newton向前插值公式 。利用二項公式系數(shù)的記號,可以把公式( )寫成 。fktthxN nkkn ?????????????000 )().,(),()!1( )()1()( 0)1(1 nnnn xxfhn ntttxR ?? ??? ?? ???( ) 第二章 插值與擬合 類似地,可以導(dǎo)出 Newton向后插值公式。設(shè) ,在 Newton插值公式中用 xN代替 x0,用 xN1代替 x1, … ,用 xNk代替 xk,這樣可以得到 )01( ????? tthxx N????????? NNNNn fttftfthxN 2)1(!21)(。fntttn Nn????? )1()1(!1 ? () 此公式稱為 Newton向后插值公式 。把二項式系數(shù)擴(kuò)大到包含負(fù)數(shù)的情形,記 ,! )1()1( k ktttk t ??????????????? ? ?則有 .! )1()1()1( k ktttk t k ????????????? ? ?此式可表示為 .)1()(0NknkkNN fktthxN ????????? ???? ??第二章 插值與擬合 其余項為 ).,(),()!1( )()1()( )1(1 NkNnnn xxfhn ntttxR ??? ?? ??? ???() 例 設(shè) x0=,h=,給出 在 處的函數(shù)值如表 25的第 3列,試用三次等距節(jié)點插值公式求 f()和f()的近似值。 xxf ?)( )6,1,0(0 ???? kkhxx k32 ??? 0 1 2 3 …… …… …… 4 5 6 32 ???kk fxk表 25 第二章 插值與擬合 解 用 Newton向前插值公式( )來計算 f()的近似值。先構(gòu)造與均差表相似的差分表,見表 25得上半部分。由 t=(xx0)/h=的得 .0 0 4 9 )()( 3 ?? Nf用 Newton向后插值公式( )計算 f()的近似值,可利用表 25中的下半部分。由 t=(xx6)/h=,得 .1 3 1 3 )()( 3 ?? Nf 事實上, f()和 f()的真值分別為 。由此看出,計算結(jié)果是相當(dāng)精確的。 例 已知 f(x)=sinx的數(shù)值如表 26的第 2列,分別用 Newton向前、向后插值公式求 。 第二章 插值與擬合 x sinx △ △ 2 △ 3 表 26 解 作差分表如表 26,使用 Newton向前差分公式x0=,x1=,x2=,x=,h=,則 t=(xx0)/h=, 02002 )1(21)( fttftfN ??????,)()1(2??????? ttt即 ≈。誤差為 第二章 插值與擬合 . o )(,),c o s)(2)(1(!3)(55232?? ??????????xRttthxR ?? 若用 Newton向后插值公式,則可取x0=,x1=,x2=,x=, h=,t=(xx2)/h=。于是 22222 )1(21)( fttftfN ??????,5 4 7 0 0 0 4 8 )1(210 8 5 2 6 4 6 ?????? ttt即 ≈。誤差為 .)(,),)(2)(1(!3)(5232??
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