【正文】 方程，可以求解。 在 MATLAB中，三次樣條插值運(yùn)算實(shí)現(xiàn)如下： yi=interp1( x, y, xi, ’spline’) 或 yi=spline( x, y, xi ) 其中 x， y 都是向量形式的點(diǎn)， xi是進(jìn)行插值的點(diǎn)的 橫坐標(biāo)向量， yi 為插值函數(shù)值。 例 7 求三次樣條插值并作圖比較。 %以 s為參數(shù)，分別做 x， y的樣條函數(shù) xx = [1 0 1 1 ... ]。 yy = [0 0 0 ... ]。 s=1:length(xx)。sp=1:length(xx)/100:length(xx)。 xp=spline(s,xx,sp)。 yp=spline(s,yy,sp)。 plot(xp,yp)。 hold on plot(xx,yy, 39。 ro39。)。xlabel(39。x39。)。 ylabel(39。y39。)。 axis([1 1 1]) 1 0 . 5 0 0 . 5 1 1 . 5 2 2 . 5 3 3 . 51 0 . 8 0 . 6 0 . 4 0 . 200 . 20 . 40 . 60 . 81xy若不取 s為參數(shù)，直接以 x， y做樣條函數(shù)，曲線不光滑。 xi=1:1/100:。 yi=spline(xx,yy,xi)。 plot(xi,yi,xx,yy, 39。ro39。) 1 0 . 5 0 0 . 5 1 1 . 5 2 2 . 5 3 3 . 51 0 . 8 0 . 6 0 . 4 0 . 200 . 20 . 40 . 60 . 81x=[0, , , , , , ]。 y=[0, , , , , , 0]。 n=length(x)。 t=0:n1。tt=0:.25:n1。 xx=spline(t,x,tt)。yy=spline(t,y,tt)。 plot(xx,yy,x,y,39。o39。) 二維插值是基于與一維插值同樣的基本思想。然而，正如名字所隱含的，二維插值是對(duì)兩變量的函數(shù)z=f(x, y) 進(jìn)行插值。為了說(shuō)明這個(gè)附加的維數(shù)，考慮一個(gè)問(wèn)題。設(shè)人們對(duì)海水的溫度分布估計(jì)感興趣，給定的溫度值取自海水表面均勻分布的格柵。 采集了下列的數(shù)據(jù)： width=1:5。 % index for width of plate (.,the xdimension) depth=1:3。 % index for depth of plate (i,e,the ydimension) 十、二維插值 temps=[82 81 80 82 84。 79 63 61 65 81。 84 84 82 85 86] % temperature data temps = 82 81 80 82 84 79 63 61 65 81 84 84 82 85 86 矩陣 temps表示整個(gè)海水的溫度分布。 temps的列與下標(biāo) depth或 y維相聯(lián)系，行與下標(biāo) width或 x維相聯(lián)系。為了估計(jì)在中間點(diǎn)的溫度，我們必須對(duì)它們進(jìn)行辨識(shí)。 1234512360708090W i d t h o f P l a t eD e p t h o f P l a t eDegrees Celsius插值方法： 1. 雙線性插值 用兩次線性插值對(duì)二維函數(shù)的數(shù)據(jù)表格做插值，二維表格是矩形網(wǎng)格點(diǎn) 上的函數(shù)值陣列 ( , )ijxy( , )i j i jf f x y?設(shè)需估計(jì)如圖所示矩形區(qū)域 上一些點(diǎn)的函數(shù)值 11 ,i i j jx x x y y y??? ? ? ?在 y 方向上做線性插值，則 E、 F處的值分別為： 11 , 1 1 ,111, 1 ,11jjE i j i jj j j jjjF i j i jj j j jy y y yf f fy y y yy y y yf f fy y y y?? ? ???????????????????然后做 的線性插值 ,EFff111( , ) ii EFi i i ix x x xg x y f fx x x x?????????將這兩步結(jié)合為一個(gè)方程，即為雙線性插值： 111 , 1 1 1 ,1 , 1 1 1 ,1( , )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )i i j ji j i j i j i ji j i j i j i jg x yx x y yx x y y f x x y y fx x y y f x x y y f??? ? ? ?? ? ? ?????? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?在 MATLAB中，雙線性插值命令為 table2 g = table2(tab, x , y) 其中 tab為一二維數(shù)據(jù)表格，第一列是 值的數(shù)組，第一行是 值的數(shù)組，按升序排列，剩余行列為 ， x， y是待插值點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)值，可以是標(biāo)量、向量或矩陣。 ixjy,ijf]2. 雙 Lagrange插值 在兩個(gè)維度上利用兩次 Lagrange插值的方法。 ,11( , ) ( ) ( )MNm n m nmng x y x y f????? ??其中形狀函數(shù) 11( ) ( )MNkkmnkkm k n kk m k nx x y yxyx x y y????????????當(dāng) M＝ N＝ 2時(shí)，方程化簡(jiǎn)為雙線性插值表達(dá)式。 作業(yè)： ， ， ， ， ， ， ， ， 要求：編寫程序，上機(jī)運(yùn)行后保存結(jié)果。 已知節(jié)點(diǎn) x0和 x1處的函數(shù)值及導(dǎo)數(shù)值 求三次插值函數(shù) 滿足插值條件 (j = 0,1) 三次 Hermite插值問(wèn)題 x x0 x1 H(x) y0 y1 H’(x) m0 m1 例 :已知插值條件 : 求 3次插值函數(shù) . 解 :設(shè) 得 a0=0, a1=0, 列出方程組 求解 , 得 a2 = 3 , a3 = – 2 所以 ,有 H(x) = 3x2– 2x3 = (3 – 2x)x2 0 . 4 0 . 2 0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1 1 . 2 1 . 4 1 . 60 . 60 . 40 . 200 . 20 . 40 . 60 . 81 x 0 1 H(x) 0 1 H’(x) 0 0 利用基函數(shù)表示 Hermite插值 x0 x1 1 0 0 0 0 1 0 0 x0 x1 0 0 1 0 0 0 0 1 兩點(diǎn) Hermite插值的誤差估計(jì)式 證明 : 由插值條件知 R(x0)=R’(x0)=0, R(x1)=R’(x1)=0 構(gòu)造輔助函數(shù) 利用 f(x) – H(x)=C(x)(x – x0)2(x – x1)2 取 x異于 x0和 x1,設(shè) 反復(fù)應(yīng)用 Roll定理 ,得 F(4)(t)有一個(gè)零點(diǎn)設(shè)為 ξ,由 得 所以 顯然 ,F(t)有三個(gè)零點(diǎn) x0, x, x1,由 Roll定理知 ,存在 F’(t)的兩個(gè)零點(diǎn) t0,t1滿足 x0t0t1x1,而 x0和x1也是 F’(x)的零點(diǎn) ,故 F’(x)有四個(gè)相異零點(diǎn) . 三次樣條插值：給定區(qū)間 [a , b]上的一個(gè)分劃 a = x0 x1 … xn = b 已知 f(xj) = yj (j = 0,1,,n), 如果 滿足 : (1) S(x)在 [xj， xj+ 1]上為三次多項(xiàng)式 。 (2) S”(x)在區(qū)間 [a， b]上連續(xù) 。 (3) S(xj) = yj ( j = 0,1,,n). 則稱 S(x)為三次樣條插值函數(shù) . 當(dāng) x∈ [xj , xj+ 1] ( j= 0,1,… n1 )時(shí) Sj(x)= aj + bj x + cj x2 + dj x3 插值條件 : S(xj) = yj ( j = 0,1,,n) 連續(xù)性條件 : S(xj+0) =S(xj0) ( j = 1,,n1) S’(xj+0) =S’(xj0) ( j = 1,,n1) S”(xj+0) =S”(xj0) ( j = 1,,n1) 由樣條定義 ,可建立方程 (4n2)個(gè)?。〖矗? 方程數(shù)少于未知數(shù)個(gè)數(shù) ？？ n個(gè)三次多項(xiàng)式 , 待定系數(shù)共 4n個(gè)！！ (1)自然邊界條件 : S”(x0)=0, S”(xn)=0 例 已知 f(–1) = 1, f(0) = 0, f(1) = [–1， 1] 上的三次自然樣條 (滿足自然邊界條件 ). 解 :設(shè) 則有 : – a1+b1–c1+d1=1, a2+b2+c2+d2=1 d1=d2=0, c1=c2, b1=b2 (2)周期邊界條件 : S’(x0)=S(xn), S”(x0)=S”(xn) (3)固定邊界條件 : S’(x0)=f ’(x0), S’(xn)=f ’(xn) 由自然邊界條件 : – 6a1+2b1=0, 6a2+2b2=0 解方程組 ,得 a1=a2=1/2, b1=b2=3/2, c1=c2=d1=d2=0 問(wèn)題的解 x=[1,0,1]。y=[1,0,1]。 f1=inline(39。*x.^3+*x.^239。)。 f2=inline(39。*x.^3+*x.^239。)。 t1=1:.1:0。t2=0:.1:1。 p1=f1(t1)。p2=f2(t2)。 plot(x,y,39。o39。,[t1,t2],[p1,p2]) 1 0 . 8 0 . 6 0 . 4 0 . 2 0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 100 . 20 . 40 . 60 . 81y= x2