【正文】 x x x? ? ? ? ? P=[3,0,4,5,5]。 (2)由方程 f (x)=0的根構(gòu)造一個(gè)多項(xiàng)式 g(x)，并與 f (x) 進(jìn)行對(duì)比。若 x為一數(shù)值，則求多項(xiàng)式在該點(diǎn)的 值；若 x為向量或矩陣，則對(duì)向量或矩陣中的每個(gè)元 素求其多項(xiàng)式的值。 二、 多項(xiàng)式計(jì)算 1. 多項(xiàng)式求根 求多項(xiàng)式 p(x)的根的函數(shù)是 roots(P)，這里， P是 p(x)的系數(shù)向量，該函數(shù)返回方程 p(x)=0 的全部根 (含重根，復(fù)根 )。 3. 給定 n+1個(gè)點(diǎn)可以唯一確定一個(gè) n 階多項(xiàng)式，利 用 polyfit可以確定多項(xiàng)式的系數(shù)。 第四章 多項(xiàng)式與插值 167。 MATLAB與多 項(xiàng)式 一、 多項(xiàng)式的建立 1. MATLAB中多項(xiàng)式用行向量表示，其元素為 多項(xiàng)式的系數(shù)，且從左至右按降冪排列； 2. 已知一個(gè)多項(xiàng)式的全部根 X，求多項(xiàng)式系數(shù)的函數(shù)是 poly(X)，該函數(shù)返回以 X為全部根的一個(gè)多項(xiàng)式 P（首項(xiàng)系數(shù)為 1），當(dāng) X是一個(gè)長度為 m的向量時(shí)， P是一個(gè)長度為 m+1的向量。 調(diào)用格式為： p=polyfit(x, y, n) 其中 x, y是同維向量，代表數(shù)據(jù)點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)， n 是多項(xiàng)式的階數(shù)。 2. 多項(xiàng)式求值 求多項(xiàng)式 p(x)在某點(diǎn)或某些點(diǎn)的函數(shù)值的函數(shù)是 polyval(P, x)。 例 1 已知一個(gè)多項(xiàng)式 (1)計(jì)算 f (x)=0 的全部根。 (3)計(jì)算 f (5)、 f ()、 f ()、 f ()的值。 X=roots(P) %求方程 f(x)=0的根 G=poly(X) %求多項(xiàng)式 g(x) X0=[5,]。 polyvalm函數(shù)要 求 x為方陣，它以方陣為自變量求多項(xiàng)式的值 。 n2 = length(p2)。 end if n1n2， p3 = p1 + [zeros(1,n1n2) ,p2]。 end 加法： c=poly_add(a,b) 減法 : c=poly_add(a,b) (2)多項(xiàng)式的乘法 函數(shù) conv(P1,P2)用于求多項(xiàng)式 P1和 P2的乘積。其中 Q返回多項(xiàng)式 P1除以 P2的商式， r返回 P1除以 P2的余式。 deconv是 conv的逆函數(shù)，即有 P1=conv(P2,Q)+r。 (2)求 f(x) f=[3,5,2,7,5,6]。 poly_add(f, g) %求 f(x)+g(x) poly_add(f, g) %求 f(x)g(x) conv(f, g) %求 f(x)*g(x) [Q,r]=deconv(f,g) %求 f(x)/g(x)，商式送 Q，余式送 r。 （ 2）對(duì)多項(xiàng)式的積分函數(shù)： d=poly_itg(c) d是多項(xiàng)式 c積分后的系數(shù)，但 不包括積分常數(shù) function py = poly_itg(p) n=length(p)。 例 3 求有理分式的導(dǎo)數(shù)。 Q=[10,5,0,0,6,0,0,7,1,0,100]。 fmins(F,X0) 求多變量函數(shù) F(x)在估計(jì)值 X0附近的最小值點(diǎn)。 例 求函數(shù) f(x)在區(qū)間 (10， 1)和 (1， 10)上的最小值點(diǎn)。 return 再在 MATLAB命令窗口，輸入命令： fmin(39。,10,1) %求函數(shù)在區(qū)間 (10， 1)內(nèi)的最小值點(diǎn) fmin(f,1,10) %求函數(shù)在區(qū)間 (1， 10)內(nèi)的最小值點(diǎn)。 例 設(shè)有函數(shù) f(x,y,z)，求函數(shù) f在 (,)附近的最小值。y=u(2)。 f=x+y.^2./x/4+z.^2./y+2./z。fxyz39。 MATLAB插 值 通常取 為多項(xiàng)式函數(shù) —— 代數(shù)插值（多項(xiàng)式插值） ()x?0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1 1 . 2 1 . 4 1 . 6 1 . 8 20 . 40 . 200 . 20 . 40 . 60 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1 1 . 2 1 . 4 1 . 6 1 . 8 20 . 40 . 200 . 20 . 40 . 60 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1 1 . 2 1 . 4 1 . 6 1 . 8 20 . 40 . 200 . 20 . 40 . 6已知 f(x)在點(diǎn) xi上的函數(shù)值 yi=f(xi), (i=0,1,2, P(x)為 插值函數(shù) 。 f(x)為 被插值函數(shù) . 如果 P(x)=a0 + a1x +＜ xn≤b 代數(shù)插值問題 定理： 若插值結(jié)點(diǎn) x0,x1,…, xn 是 (n+1)個(gè)互異點(diǎn)，則滿足插值條件 P(xk)= yk (k = 0,1,…, n)的 n次插值多項(xiàng)式 P(x)=a0 + a1x +……+ anxn 存在而且是唯一的。 y=erf(x)。y=y39。 p=A\y。a1=p(2)。a3=p(4)。 u=a0+a1*t+a2*t.^2+a3*t.^3。o39。 二次多項(xiàng)式插值 過三點(diǎn)拋物線 。 (2)不易討論誤差 。 另外， interp1命令有三種可選參數(shù) yi = interp1(x,y,xi,’ linear’ ) 線性插值（缺省） yi = interp1(x,y,xi,’ spline’ ) 三次樣條 yi = interp1(x,y,xi,’ cubic’ ) 三次插值 例 3 已知數(shù)據(jù)表如下，分別求 y＝ ， ， ， 處 x 的值。 y = [,]。 [yi , xi] ans ＝ 二、用冪級(jí)數(shù)做多項(xiàng)式插值 給定 n+1 個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)： 1 2 11 2 1nnx x xy y y??橫 坐 標(biāo)縱 坐 標(biāo)過 n+1個(gè)點(diǎn)的 n 階多項(xiàng)式可寫為冪級(jí)數(shù)形式： 11 2 1() nn nng x c x c x c x c? ?? ? ? ? ?注：過 n＋ 1個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的 n 階插值多項(xiàng)式是惟一的。 x=[, , , ]39。 。 a(:,n+1)=ones(size(x))。 for j=n1:1:1 a(:,j)=a(:,j+1).*x。 xi=[, ]。 for k=1:n+1 yi = yi + coeff(k)*xi.^(n+1k)。 yp=zeros(size(xp))。 end plot(xp,yp, x,y, 39。) 三、 Lagrange插值多項(xiàng)式 : 1 ( ) ( 1 , 2 , . . . , 1 )1 kin n l x k nnx? ? ??定 義 若 個(gè) 次 多 項(xiàng) 式在 個(gè) 結(jié) 點(diǎn) 上 滿 足111111111()0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )kinkkkk k k k nkkiklxikx x x x x x x xlxx x x x x x x x????????? ???? ? ? ??? ? ? ?　 　 當(dāng)　 　 　 　　 　 當(dāng)則 稱 它 們 為 插 值 基 函 數(shù) ( 或 形 狀 函 數(shù) ） 。function fi = Lagran_(x, f, xi) fi=zeros(size(xi))。 for i=1:np1 z=ones(size(xi))。 end end fi=fi+z*f(i)。 y =[, , , ]。 yi = Lagran_(x, y, xi) 例 4：寫出擬合下面三個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的 Lagrange插值公式，并計(jì)算 x＝ 、 y 的值。 0 x ???3[ 0 , , , , ]4 2 43[ 0 , si n( ) , si n( ) , si n( ) , si n( ) ]4 2 4xy??????????( ) s in ( ) ( )e x x g x??插值結(jié)果及誤差分布如下圖： 可見，誤差峰值出現(xiàn)在端點(diǎn)附近的區(qū)間里，這是由于 的局部峰值在端點(diǎn)附近。y=1./(1+x.^2)。y1=1./(1+t.^2)。 for i=1:n z=t(i)。 for k=1:11 Lk=1。 for j=1:11 if j~=k,Lk=Lk*(zx(j))/(ux(j))。 end y2(i)=s。ko39。r39。 總結(jié)： （ 1）盡可能在小區(qū)間上使用多項(xiàng)式插值； （ 2）只能在一定范圍內(nèi)依靠增加插值點(diǎn)個(gè)數(shù)提高插 值精度，如果插值點(diǎn)個(gè)數(shù)過多往往會(huì)適得其反。 ()ilx對(duì)所有 i， 的冪級(jí)數(shù)形式可用函數(shù) shape_pw 計(jì)算 ()ilxfunction p = shape_pw(x) np = length(x)。 y(j) = 1。 end 其調(diào)用格式為： p=shape_pw(x) 其中 x 是數(shù)據(jù)點(diǎn)的橫坐標(biāo)數(shù)組， p 是一個(gè)矩陣，它的第 i 行即為 的冪系數(shù)。 y = [, , , ]。 np = length(x)。 s=0。 end s yi=polyval(s,xi) 結(jié)果為： yi＝ 為計(jì)算 Lagrange插值多項(xiàng)式的一階導(dǎo)數(shù)，可用 polyder 函數(shù)將 p 的每一行轉(zhuǎn)換為一階導(dǎo)數(shù)的系數(shù)數(shù)組。 y = [, , , ]。 np = length(x)。 s=0。 end yi=polyval(s,xi) 結(jié)果為： yi＝ 取 x0, x1, x2,求二次函數(shù) P(x)=a0 + a1(x – x0) + a2 (x – x0)(x – x1) 滿足條件 P(x0)=f(x0), P(x1)=f(x1), P(x2)=f(x2) 插值條件引出關(guān)于 a0, a1, a2方程 四、牛頓插值問題 解下三角方程組過程中引入符號(hào) a0 = f(x0), a1 = f[x1, x2], a2 = f[x0, x1, x2] P(x)=a0 + a1(x – x0) + a2 (x – x0)(x – x1) 定義 :若已知函數(shù) f(x) 在點(diǎn) x0, x1, , f(xn),如果 i ≠ j ,則 n階均差 ( j = 0,1,…, n1 ) 一階均差 二階均差 ( j