[理學(xué)]第四章矩陣分解-展示頁
2025-01-28 15:15本頁面
【正文】 解為 其中 Q是 n階酉矩陣， 是具有正對角元的上三角矩陣。當(dāng) 時，稱為 A的正交三角分解。 A L U?AUL2 2 3 1 2 2 34 7 7 2 1 3 12 4 5 1 2 1 6A L U? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?練習(xí) 2：將 分解為 ，其中 為正線 下三角矩陣。1 1 2 1 3 11 1 1 2 1 3 1 12 1 2 2 2 3 2 1 2 2 2 2 3 23 1 3 2 3 3 3 1 3 2 3 33321 1 1 1 2 1 1 1 3 1222 1 1 1 2 1 2 2 2 1 3 1 2 2 3 22 2 23 1 1 1 3 1 2 1 3 2 2 2 3 1 3 2 3 33nl l la a a la a a l l l la a a l l lll l l l ll l l l l l l ll l l l l l l l l?????? ? ? ???? ? ? ????? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ????????? ? ?? ? ??— — —— ——— —— — —— — —以 為 例????????123. D .2 5 6 104 13 19 196 3 6 30ool i t t l exxx?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?例 試 用 分 解 求 解 方 程 組11 12 1321 22 2331 32 332 5 6 1 0 04 13 19 1 06 3 6 1u u ul u ul l u?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?()Ly bA x b L UU x yxb ??? ? ? ? ???1 2 5 62 1 3 73 4 1 4A L U?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?1231 2 311 102 1 193 4 1 3010 , 19 20 1 , 34 30 4( 10 , 1 , 4)TL y byyyy y yy?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ???（ ） 解得即 。若 A=LDR，其中 L是單位下三角矩陣， D是對角 矩陣， U是單位上三角矩陣，則稱為 A的 LDR 分解。 12 1221 22 121121212 rrrrrrrrr n rrA A A AAA A BA BAU L ALOL U ABL IBA BA OO??? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ????????? ???????? ?? ??證 明 ：0110A ??? ????110 0 0 0 1 1 0 0101 2 1 1 0 1 1 22??? ? ? ? ? ? ? ?????? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ???上 述 定 理 只 是 充 分 條 件 ， 如 ：1D?矩 陣 的 三 角 分 解 不 唯 一 ， 如 A=LU=(LD )(DU),其 中 為 可 逆 的 對 角 矩 陣 .定義 將 L是單位下三角矩陣的 LU三角分解 稱為矩陣的 Doolittle分解。 nnAC ??nnUC ??nnLC ?? 4 . 1 AnnnAC ????1n設(shè) ， 則 有 三 角 分 解 的 充 要 條 件是 A 的 各 階 順 序 主 子 式 ， 均 不 為 零定 理. k A 4 . 2 AnnrAC ????設(shè) ， 且 的 前 r 個 順 序 主 子 式 不 為 零 ，即 0 （ k = 1 , 2 , , r ） , 則 可 以定 理作 三 角 分 解 .定理表明并不是每個可逆矩陣都可以作三角分解。 第 四 章 矩陣的分解 本章我們主要討論矩陣的四種分解：矩陣的三角分解 ， QR分解 ， 滿秩分解 ， 奇異值分解 。 矩陣的三角分解 三角分解及其存在唯一性問題 定義 設(shè) ，如果存在 下三角矩陣 和 上三角矩陣 使得 A=LU，則稱 A可以作 三角分解 。如 不能作三角分解。將 U是單位上三角 矩陣的 LU三角分解稱為矩陣的 Crout分解。 121 A n A L D R( , , , 4.,3)( 2 , ) .nkkD diag d d dd d k n????? ? ? ??1n1k1設(shè) 為 階 非 奇 異 矩 陣 ， 則 有 唯 一 分 解的 充 要 條 件 是 A 的 各 階 順 序 主 子 式 ， 均 不 為 零 .此 時 ， 的 元 素 滿 足，定 理 A n A D o o l it tl eCr o u t ??1n設(shè) 為 階 非 奇 異 矩 陣 ， 則 有 唯 一 的 分 解 或分 解 的 充 要 條 件推是 A 的 各 階 順 序 主 子 式 ， 均 不 為 零 .論 三角分解的緊湊計算格式 D ool i t t l e 3n ?計 算 分 解 ： 以 為 例11 12 13 11 12 1321 22 23 21 22 2331 32 33 31 32 3311 12 1321 11 21 12 22 21 13 2331 11 31 12 32 22 31 13 32 23 331 1 1 121111( 1 , 2 , 3 )j j j ja a a u u ua a a l u ua a a l l uu u ul u l u u l u ul u l u l u l u l u ua u u a ja? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?????? ? ??? ? ? ???? ? ? ??由由312111 21 21 31 11 31 3111 11aau l l a u l luu? ? ? ? ?；22 21 12 22 22 22 21 12 23 21 13 23 23 23 21 1332 31 1232 31 12 32 23 322233 31 13 32 23 33 33 33 31 13 32 23()a l u u u a l u a l u u u a l ua l ua l u l u lua l u l u u u a l u l u? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?由 ； ；由由 , A C h o l e s k
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