【正文】 % index for depth of plate (i,e,the ydimension) 十、二維插值 temps=[82 81 80 82 84。為了說(shuō)明這個(gè)附加的維數(shù)，考慮一個(gè)問(wèn)題。 plot(xx,yy,x,y,39。 t=0:n1。ro39。 axis([1 1 1]) 1 0 . 5 0 0 . 5 1 1 . 5 2 2 . 5 3 3 . 51 0 . 8 0 . 6 0 . 4 0 . 200 . 20 . 40 . 60 . 81xy若不取 s為參數(shù)，直接以 x， y做樣條函數(shù)，曲線不光滑。)。 ro39。 xp=spline(s,xx,sp)。 %以 s為參數(shù)，分別做 x， y的樣條函數(shù) xx = [1 0 1 1 ... ]。 1 0nff?? ????（ b）從內(nèi)部外推 ， 利用 對(duì) 進(jìn)行外推 f??23,ff?? ?? 1f??1 3 2 1 1 12 1 2 31 2 2 2(), ( 1 )fth f h f h hf f f fh h h h???? ????? ?? ?? ??? ? ? ? ??連 續(xù)即將其代入方程組 6的第一個(gè)方程中，整理得： 22111 2 2 2 3221321 1 2 232116hhh h f h fhhfffh h h h? ? ? ??? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?????? ? ? ?????????1 2 3f f f?? ?? ??12hh類似，利用 對(duì) 進(jìn)行外推 12,nnff???? ?? nf??1112221 nnn n nnnhhf f fhh?????????? ?? ??? ? ?????將其代入方程組 6的最后一個(gè)方程，整理得： 22112 2 1 2 122212 2 1 132116nnn n n n nnnnn n n nhhh f h h ffffh h h h? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ??? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?????? ? ? ?????????此時(shí)，同樣得到一三對(duì)角方程組，求解即可。 (2) 在每個(gè)小區(qū)間 1[ , ]iixx? 上是三次多項(xiàng)式； (1) 此時(shí) 叫插值函數(shù)； ()fx()iif x y?0( , )nxx()fx 則稱 為點(diǎn)列的 三次樣條插值函數(shù) 或 三次樣條多 項(xiàng)式 ，簡(jiǎn)稱 三次樣條 。 實(shí)用：采用分段低次插值 有分段線性，分段二次插值等 缺點(diǎn)：分段插值函數(shù)只能保證連續(xù)性， 不能保證 光滑性。b39。 y=1./(1+x.^2)。 y=1./(1+x.^2)。y39。 ss=0::1。 x(4) = 4。 s(3) = 1 z。 y(1) = 1。 a=3。b] s=0::1。1 1 1 1。a。 c=[0 0 0 1。 ( 1 ) ,dx dys x x a y yds dsdx dys x x y y bds ds? ? ? ? ?? ? ? ? ?其中 a、 b是任意參數(shù)，在一定程度上影響曲線形狀。 八、 三次 Hermite多項(xiàng)式 可以同時(shí)擬合函數(shù)值與導(dǎo)數(shù)值的多項(xiàng)式稱為 Hermite插值多項(xiàng)式或密切多項(xiàng)式。 pn= ( (2*i1)*[pb,0] (i1)*[0, 0, pbb] )/i。 end pb=[1 0]。 pb=pn。 break。 if n==0, pn=pbb。 for k=2:n for j=n:1:k f(j)=(f(j)f(j1))/(x(j)x(j+1k))。 p=shape_pw(x)。 x = [, , , ]。 p=shape_pw(x)。 ()ilx如例 4也可求解如下 ： x = [, , , ]。 for j=1:np y = zeros(1,np)。) 減小誤差的方案： （ 1）減小插值區(qū)域，即 b－ a； （ 2）增加數(shù)據(jù)點(diǎn)個(gè)數(shù)； （ 3）使用可變間距的數(shù)據(jù)點(diǎn) (Chebyshev點(diǎn) )。 end plot(x,y,39。u=x(k)。n=length(t)。 ()LxRunge反例 : , (5≤x≤5) 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 0 . 500 . 511 . 52L10(t) f(t) f(xk) 取 xk= –5+k 計(jì)算 : f(xk) (k=0,1,…,10) 構(gòu)造 L10(x). 取 :tk= –5+ (k=0,1,…,200), 計(jì)算 : L10(tk) x=5:5。 xi = [, ]。 for j=1:np1 if i~=j z = z.*(xi x(j))/(x(i)x(j))。 顯 然形狀函數(shù)的圖形如下（ n＝ 8） 1 1 2 2 1 1 ( ) ( 1 , 2 , , 1 ): ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( 1 , 2 , , 1 ) k knnkk k k kg x y k nng x l x y l x y l x yg x l x y ykn??? ? ?? ? ? ?????滿 足 插 值 條 件的 次 數(shù) 不 超 過(guò) 的 多 項(xiàng) 式 顯 然 為這 是 因 為注 意 ： ? ? 11 2( ) p ( ) | p , , , ,nnnng x P x nl l l?? ? ?為 次 數(shù) 多 項(xiàng) 式故 可 表 為 基 函 數(shù) 的 線 性 組 合 。 for k=1:n+1 yp=yp + coeff(k)*xp.^(n+1k)。 yi=zeros(size(xi))。 a(:,n)=x。 y=[, , , ]39。 yi = [,] xi = interp1(y,x,yi,’linear’)。 幾何意義 ：兩條曲線有交點(diǎn)（公共點(diǎn)） 3??一、線性插值 線性插值是兩個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的直線擬合 o xy()y f x?()fa()fbxa? xb?( ) ( ) ( )b x x ag x f a f bb a b a????( ) ( )( ) ( ) ( )f b f ag x x a f aba?? ? ??或 誤差估計(jì)： ( ) 0 . 5 ( ) ( ) ( )( ) 0 . 5 ( ) ( ) m a x ( )a x be x x a x b fe x x a x b f x?????? ? ???? ? ?,a x b a b?? ? ? ? 在 MATLAB中，命令 interp1可做線性插值， 調(diào)用格式為： yi＝ interp1( x, y, xi) 其中 x 表示數(shù)據(jù)點(diǎn)橫坐標(biāo)的列數(shù)組， y 表示數(shù)據(jù) 縱坐標(biāo)的列數(shù)組（可以有多列）。,t,u) 0 0 . 5 1 1 . 5 200 . 20 . 40 . 60 . 81 .1 : 1 ( ) ( ) ( 0 , 1 , 2 , ..., ) 2 ( ) .kn k knnxp x f x k nn p x?????定 理 4在 個(gè) 互 異 節(jié) 點(diǎn) 處 滿 足 插 值 條 件的 次 數(shù) 不 超 過(guò) 的 多 項(xiàng) 式插 值 多 項(xiàng) 式 的存 在存 唯 一 性且 唯 一在 注 :一次多項(xiàng)式插值 過(guò)兩點(diǎn)直線 。 t=0:.2:2。 a0=p(1)。 x=x39。 ???????????????????nnnnnnnnnyxaxaayxaxaayxaxaa?????101111000010證明 : 由插值條件 P(x0)= y0 P(x1)=y1 + anxn 滿足 : P(xk)= yk (k = 0,1,…,n ) 設(shè) f(x)∈ C [a , b], 取點(diǎn) a ≤x0＜ x1＜ 條件 P (xk)= yk (k = 0,1,…, n)為 插值條件 。 return 在 MALAB命令窗口，輸入命令： U=fmins(39。 建立函數(shù)文件 ： function f=f(u) x=u(1)。fx39。 MATLAB沒(méi)有專門提供求函數(shù)最大值點(diǎn)的函數(shù)，但只要注意到 f(x)在區(qū)間 (a,b)上的最小值點(diǎn)就是 f(x)在 (a,b)的最大值點(diǎn)，所以 fmin(f,a,b)返回函數(shù) f(x)在區(qū)間 (a,b)上的最大值。 P=[3,5,0,8,1,5]。 4. 多項(xiàng)式的微分與積分 （ 1）對(duì)多項(xiàng)式求導(dǎo)數(shù)的函數(shù)是： p=polyder(P) 求多項(xiàng)式 P的導(dǎo)函數(shù) p=polyder(P,Q) 求 P*Q的導(dǎo)函數(shù) [p,q]=polyder(P,Q) 求 P/Q的導(dǎo)函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)的 分子存入 p，分母存入 q。g(x)、 f(x)/g(x)。這里， Q和 r仍是多項(xiàng)式系 數(shù)向量。end if n1n2 ， p3 = [zeros(1,n2n1) ,p1] + p2。 function p3 = poly_add(p1,p2) n1=length(p1)。 5 3 2( ) 3 4 5 5f x x x x x? ? ? ? ? P=[3,0,4,5,5]。若 x為一數(shù)值，則求多項(xiàng)式在該點(diǎn)的 值；若 x為向量或矩陣，則對(duì)向量或矩陣中的每個(gè)元 素求其多項(xiàng)式的值。 3. 給定 n+1個(gè)點(diǎn)可以唯一確定一個(gè) n 階多項(xiàng)式，利 用 polyfit可以確定多項(xiàng)式的系數(shù)。 MATLAB與多 項(xiàng)式 一、 多項(xiàng)式的建立 1. MATLAB中多項(xiàng)式用行向量表示，其元素為 多項(xiàng)式的系數(shù)，且從左至右按降冪排列； 2. 已知一個(gè)多項(xiàng)式的全部根 X，求多項(xiàng)式系數(shù)的函數(shù)是 poly(X)，該函數(shù)返回以 X為全部根的一個(gè)多項(xiàng)式 P（首項(xiàng)系數(shù)為 1），當(dāng) X是一個(gè)長(zhǎng)度為 m的向量時(shí)， P是一個(gè)長(zhǎng)度為 m+1的向量。 2. 多項(xiàng)式求值 求多項(xiàng)式 p(x)在某點(diǎn)或某些點(diǎn)的函數(shù)值的函數(shù)是 polyval(P, x)。 (3)計(jì)算 f (5)、 f ()、 f ()、 f ()的值。 polyvalm函數(shù)要 求 x為