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正文內(nèi)容

第4章--插值與基函數(shù)(上)(編輯修改稿)

2024-09-11 23:28 本頁(yè)面
 

【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 在第三章一開(kāi)頭我們談過(guò)主要研究一個(gè)插值函數(shù)的連續(xù)性 ,逼近度和整體自由度 , 下面討論一下這三個(gè)問(wèn)題 。 連續(xù)性:三角形上的線性插值在一條邊上的值等于此邊兩端節(jié)點(diǎn)所作的線性插值,由一維插值的唯一性即知在任何兩個(gè)三角形單元的公共邊界上 連續(xù),從而在整個(gè) 上亦連續(xù)。 逼近度 由插值的唯一性有 從而由逼近定理有估計(jì) () 看圖 , 在一面問(wèn)題中我們已討論過(guò)基函數(shù) 的性質(zhì) , 特別是 ( ) 式 ,我們已給出過(guò) 這里我們?cè)僭敿?xì)討論一下 。 回顧式 ( ) 總體自由度 NP ( 2)面積坐標(biāo) 線性插值基函數(shù)很有用 ,深入討論 同理: () 令 由基函數(shù)性質(zhì)(注意式 ),有 顯見(jiàn) 與 x,y是 11對(duì)應(yīng)的, 依頻于 通常稱(chēng) 為面積坐標(biāo)(或重心坐標(biāo)齊次坐標(biāo))前已 () () () 談過(guò),把 x,y平面上的各單元 e都變?yōu)? 平面上的標(biāo)準(zhǔn)三角形 OAB。 (3) 面積坐標(biāo)的性質(zhì) : 10 三角形三頂點(diǎn) 和形心的面積坐標(biāo)分別為 ( 1, 0, 0) , ( 0, 1, 0) , ( 0, 0, 1) 和 0 1 A B 1 λ1 λ2 x y 0 B A λ2 λ1 20 三角形條邊 的方程分別為 30 下圖 ,過(guò)任一點(diǎn) Q作平行于 的直線分別交 兩邊于 兩點(diǎn) ,則在線段 上恒有 Q2 Q3 B3 Q B2 Q1 有類(lèi)似結(jié)果 40 任一 x,y的 k次多項(xiàng)式是 的齊 k次多項(xiàng)式 , 反之 亦 然 ( 只 須 對(duì) 每 個(gè) 次單項(xiàng)式乘以 , 再展開(kāi)便得 的齊 k次多項(xiàng)式 , 反之亦然 —— 在一維 Lagrange 插值中證過(guò)類(lèi)似情況 ) 50 取 為獨(dú)立變量 , 則利用式 ( ) ( ) 得 () , 故有 解聯(lián)列方程組。 同理 () () 插值函數(shù)用面積坐標(biāo)表示在積分計(jì)算中有很大方便 利用 ( ) 式 Euler 積分 得到一個(gè)十分有用的公式 若令 3. 高次 Lagrange 插值 1) 二次插值 以六結(jié)點(diǎn)二次三角形為例 , 知 在各單元頂點(diǎn)和各邊中點(diǎn)上的值 , 求函數(shù) 在任意 e上有 (中點(diǎn)) i=1,2,3 這種 b結(jié)點(diǎn)元具有 12個(gè)自由度,單元中的應(yīng)力是線性的,不再是常數(shù)。 ① 唯一可解性:(思路與一維高次 Lagrange 的證法是一樣的,對(duì)于邊 即為 一樣) 設(shè) , 在邊 上 , 因 ,故 是 二次式 , 以二次式在 和 三點(diǎn)為 0。 故由一維二次插值的唯一性知 在 上必恒為 0, 這樣它必含 。 同理它亦必含 故 但根據(jù)假設(shè) , 在 點(diǎn) 即 故 c=0即 這樣就滿(mǎn)足了唯一性。由于在每一邊 上唯一,因此兩個(gè)相領(lǐng)單元公共邊的 必連續(xù) 共屬 ② 基函數(shù)有兩類(lèi): () 其中( i) ( ii) 單元 上 是二次式 。 試求 要求 直線 方程 則 必含 則 再求 要求 直線 方程 方程 則 必含 則 利用對(duì)稱(chēng)性,即寫(xiě)出其他基函數(shù) () ③ 逼近度 因 , 故有估計(jì) ④ 總體自由度 比較一次插值,總體自由度為 NP,現(xiàn)在提高一次, 變?yōu)?4NP,工作量增加很多,但是光滑度仍然是不 基函數(shù)的圖形 夠的,所以用高次插值要權(quán)衡一下利弊。除二次線 性插值外,還有三次插值,受阻制的三次插值等三 角形單元。由于實(shí)際中用得不多在此只作粗略介紹。 2) 三次插值 形心 C, 共 10點(diǎn) , 10個(gè)基函數(shù) 基函數(shù) () 連續(xù)性 逼近度 總體自由度 3)受限制的三次插值 總體自由度增高多占不少內(nèi)存,想要減少一點(diǎn) ,但對(duì) L型插值來(lái)說(shuō),邊上 4個(gè)自由度是不可少的,要 保證三次和相鄰元連續(xù),因此只能在形心上想法, 表面上看, 去掉三次式的某項(xiàng)作不完全的三次插 值是可行的 , 如去掉 項(xiàng) , 這樣的不完 全三次插值是唯一的 , 但又是無(wú)用的 , 因它對(duì) 一次式都不準(zhǔn)確 。 如 一次式中就包含 , 去掉后不準(zhǔn)了,所以 要選擇的三次插值函數(shù)的原則為:逼近度盡可能 高,三次不準(zhǔn)則退守二次準(zhǔn)確。 一般二次多項(xiàng)式的形式為 () 化為齊次式有 對(duì)于插值函數(shù)(三次) 欲使 , 必須滿(mǎn)足條件 ( E) ( E) () 問(wèn)題歸結(jié)為求 ,使 10 20在單元 上 是 的齊三次式 ( 即 的 三次多項(xiàng)式 ) 且系數(shù)滿(mǎn)足條件 ( E) , 故亦稱(chēng)為受 限制的三次插值 。 基函數(shù) 原來(lái)的基函數(shù)除( E)外,其他基函數(shù)的條 件顯然滿(mǎn)
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