最小二乘曲線擬合及其matlab實現(xiàn)(編輯修改稿)
2025-07-26 03:32 本頁面
【文章內容簡介】 面的解決方案，并在很大程度上擺脫了傳統(tǒng)非交互式程序設計語言（如C、Fortran）的編輯模式，代表了當今國際科學計算軟件的先進水平。MATLAB和Mathematica、Maple并稱為三大數(shù)學軟件。它在數(shù)學類科技應用軟件中在數(shù)值計算方面首屈一指。MATLAB可以進行矩陣運算、繪制函數(shù)和數(shù)據(jù)、實現(xiàn)算法、創(chuàng)建用戶界面、連接其他編程語言的程序等，主要應用于工程計算、控制設計、信號處理與通訊、圖像處理、信號檢測、金融建模設計與分析等領域。MATLAB的基本數(shù)據(jù)單位是矩陣，它的指令表達式與數(shù)學、工程中常用的形式十分相似，故用MATLAB來解算問題要比用C，F(xiàn)ORTRAN等語言完成相同的事情簡捷得多，并且MATLAB也吸收了像Maple等軟件的優(yōu)點，使MATLAB成為一個強大的數(shù)學軟件。在新的版本中也加入了對C，F(xiàn)ORTRAN，C++，JAVA的支持?？梢灾苯诱{用,用戶也可以將自己編寫的實用程序導入到MATLAB函數(shù)庫中方便自己以后調用，此外許多的MATLAB愛好者都編寫了一些經典的程序，用戶可以直接進行下載就可以用。 求解的基本理論闡述假設有一組數(shù)據(jù)，且已知這組數(shù)據(jù)滿足某一函數(shù)原型，其中為待定系數(shù)向量，則最小二乘曲線擬合的目標就是求出這一組待定系數(shù)值，使得目標函數(shù)最小。MATLAB的統(tǒng)計工具箱提供了Isqcurvefit函數(shù)，可以解決最小二乘曲線擬合問題。 該函數(shù)的調用格式如下：其中，F(xiàn)un為原始函數(shù)的MATLAB表示，可以是M函數(shù)或inline函數(shù)；為最優(yōu)化的初值；x，y為原始輸入輸出向量。調用該函數(shù)，將返回待定系數(shù)向量，以及在此系數(shù)下的目標函數(shù)的值Jm.。 結合實例進行MATLAB解算此處我們就結合上面的Moore實例進行分析，通過對散點圖的分析我們已經假設出了初始函數(shù).其實現(xiàn)的MATLAB程序如下：t=[1959 1962 1963 1964 1965]。k=[1 3 4 5 6]。令，這樣，原函數(shù)就可以寫出，可以用MATLAB程序代碼寫出：function k = K( a,t )k=a(1)+a(2)*t。 end %定義原型函數(shù)kformat long%小數(shù)精度定義為小數(shù)點后15位[a,JM]=lsqcurvefit(39。K39。,[1。1],t,k)。 %調用Isqcurvefit函數(shù)求系數(shù)和偏差值第 15 頁 共 27 頁結果如下：aa = +03 * JMJM = 由結果可知a=a(1)=,b=a(2)=,即由MATLAB解算出來的擬合函數(shù)為這與上面手工解算的結果基本一致。另外，我們可以將原始數(shù)據(jù)的散點圖和得到的擬合曲線畫在一個坐標畫面上以檢測擬合函數(shù)的精度，編寫程序如下：ti=[1959 1962 1963 1964 1965]。ki=+*ti。plot(t,k,39。o39。,ti,ki)結果如圖 2所示，最小二乘法曲線擬合的結果是找到符合經驗公式的最優(yōu)曲線，但這一經驗公式是否有效還需要事后檢驗，一般就是從圖像上做出判斷。定量的方法也是有的，一般是計算殘差平方和，再進行統(tǒng)計檢驗，對此就不做多余的講解了。通過對圖 2的分析可知擬合曲線與原始數(shù)據(jù)是比較穩(wěn)合的，滿足要求。圖 2 擬合函數(shù)對原始數(shù)據(jù)的逼近4 最小二乘曲線擬合案例分析與解算 案例敘述起重量限制器是用來保護塔機的重要裝置之一，是用于防止因超重而引起起升電機、傳動機構、鋼絲繩的損壞。但是它只能在極限的狀態(tài)下保護塔機起升機構不會受到損壞，不能夠顯示起重量值，因此，司機在操作過程中不了解塔機每次起吊重量的具體狀況。為了進一步提高塔機的安全性能和工作效率，增加塔機起重量在線監(jiān)測裝置非常重要，實時準確地測量出起重量是在線監(jiān)測的關鍵。在實時臨測系統(tǒng)中，在原有起重量限制器的基礎上加裝了拉力傳感器，傳感器所測量的拉桿拉力Q與鋼絲繩的張力F之間存在著一定的函數(shù)關系，起重量增加，拉桿拉力也相應增加，因此可通過間接測量拉桿拉力的方法先測出鋼絲繩的張力，然后根據(jù)吊鉤處的鋼絲繩倍率關系計算出實際起重量，從而在拉桿拉力與塔機起重量之間建立起函數(shù)關系。 數(shù)據(jù)輸入與分析由于塔機起重量G與鋼絲繩張力F之間有確定的函數(shù)關系，在實際應用中，以塔機起重量G代替鋼絲繩張力F作為輸出樣本，以拉桿拉力Q作為輸入樣本。塔機QTZ63最大額定起重量為，分別以，為起重量，測量相應的拉力傳感器拉力Q，以獲取樣本表 3所示。樣本拉桿拉力Q/kN起重量G/kg100260031200418005240063000736008420094800105400116000表 3實測樣本、估算值及相對誤差 利用MATLAB畫出其散點圖，分析其函數(shù)模型，程序代碼如下：G=[0 600 1200 1800 2400 3000 3600 4200 4800 5400 6000]。Q=[0 ]。plot(Q,G,39。o39。)結果如圖 3所示，根據(jù)散點圖的走勢我們可以設原函數(shù)為三次多項式函數(shù)模型： 圖 3樣本數(shù)據(jù)散點圖 進行擬合求解 由于該案例的運算量不是太大，所以在這里我們在采用MATLAB解算的同時也進行了一次手工解算，同時也可以就兩種方法的對比體現(xiàn)出MATLAB解算的高效、簡單與快捷的特點，但是在這
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