[理學(xué)]多項式插值與最小二乘擬合(編輯修改稿)
2024-11-12 21:11 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 nn xxxxxxnfxR ????????下面分析多項式插值余項的估計式 (1) |f(n+1)(x)|的值 ， 常常隨 n的增加呈指數(shù)級增長 ， 比 (n+1)!快得多 ！ (2) 的值 ， 在 的均值附近比較小 ， 而在邊界 的附近隨 n的增加而增加 。 )())(()( 101 nn xxxxxxx ????? ??nxxx , 10 ?nxx、0(3) 當(dāng) n比較小時 ， 說明在區(qū)間 [a， b]內(nèi)取的節(jié)點少 ， 以至于插值多項式不足以反映被插函數(shù) f(x)的性態(tài) ！ 通常 ， Numerical Analysis J. G. Liu School of Math. amp。 Phys. North China Elec. . 2021/11/1014 （一）分段線性插值 將 [a,b] n等分，在每個小區(qū)間 [xi , xi+1](i=0,1,… ,n1)上，作線性插值 ],[ ),()()( 11111????? ???????iiiiiiiiiii xxxxfxxxxxfxxxxxs? ],[,)()( 1??? iiin xxxxSxp(1) ]。,[)( baCxp n ?(2) )(xpn 在每個小區(qū)間 [xi , xi+1]上為一個次數(shù)不高于 1的多項式 。 — 分段函數(shù) 易見 ， (3) )(],[)( xfbaxp n 上一致收斂到在可以證明 ， 若 則 ],[)( baCxf ? 數(shù)值穩(wěn)定性好 計算簡單 光滑性差 從而得 ? 分段線性插值的定義 Numerical Analysis J. G. Liu School of Math. amp。 Phys. North China Elec. . 2021/11/1015 分別用 n=4,10的分段線性差值逼近函數(shù) ]5,5[,11)(2 ???? xxxf? 數(shù)值實驗 作圖演示 : Numerical Analysis J. G. Liu School of Math. amp。 Phys. North China Elec. . 2021/11/1016 (1) s(x)在每個小區(qū)間 [xi,xi+1] 上 ， 是次數(shù)不超過 三 的多項式； (2) (3) （二）三次樣條插值 給定： y=f(x)的數(shù)據(jù) (xi互異 ) ?問題的提法 xynxxx 10 ??? ?nyyy 10 ?確定函數(shù) s(x),使 niyxs ii ,2,1,0,( ???）],[)( 02 nxxCxs ?滿足 (1)、 (2)的函數(shù) s(x)稱為三次樣條函數(shù)； 滿足 (1)、 (2)、 (3)的函數(shù) s(x)稱為三次樣條插值函數(shù) 。 注 : 插值條件 Numerical Analysis J. G. Liu School of Math. amp。 Phys. North China Elec. . 2021/11/1017 ?確定三次樣條插值函數(shù)的條件 因為三次樣條函數(shù) s(x)的確定需要 4n個條件， ),1,0( )( niyxs ii ???可以確定了 4n2個條件，所以還需補(bǔ)充二個條件（ 邊界條件 ）。 由插值條件 及連續(xù)性條件 )1,2,1( ),0()0( ),0(39。)0(39。),0()0( ????????????????????nixsxsxsxsxsxsiiiiii?邊界條件有以下三種： (1) 。)(39。)0(39。)(39。)0(39。000 nnn mxfxsmxfxs ?????? ，(2) nnn MxfxsMxfxs ?????? )(39。39。)0(39。39。)(39。39。)0(39。39。 000 ，(3) )。0(39。39。)0(39。39。),0(39。)0(39。),0()0(000?????????nnnxsxsxsxsxsxs周期性條件 自然邊條件 Numerical Analysis J. G. Liu School of Math. amp。 Phys. North China Elec. . 2021/11/1018 故 為 [xi,xi+1]上的 線性 函數(shù) ， )(39。39。 xs?確定三次樣條插值函數(shù)的三彎矩法 設(shè) ， ),1,0()(39。39。 niMxs ii ???s(x)在區(qū)間 [xi,xi+1](i=0,1,… ,n1)內(nèi)為三次多項式 ， 且 ， ),()(02 nxxCxs ?有則 ],[ 1??? ii xxx)( )( 111 iiiiiiiii xxhhxxMhxxMxs ????????????iiiiiiiiiiiiiiiihxxhMyhxxhMyhxxMhxxMxs?????????????????)6( )6(6)(6)()(211123131對 進(jìn)行兩次不定積分 ， 并由插值條件可得 )(39。39。 xs(1) )1( )( )(39。39。 ??????? i , ikyxsMxskkkk滿足由插值條件確定三次樣條函數(shù) Numerical Analysis J. G. Liu School of Math. amp。 Phys.
教學(xué)課件相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號-1