曲線擬合與回歸分析(編輯修改稿)
2025-06-17 19:21 本頁面
【文章內容簡介】 xfneyxfyxfneeyxxexzyxyxyxyx???????????????? ????????????????),(),(),(31),(10),(331510)1(3332211)1(21)1(53)1(222222222???1? 2? 3?? 若要取得 100 筆訓練資料 ? 範例 105： ? randn 指令的使用即在加入正規(guī)分佈雜訊。上圖為我們收集到的訓練資料，由於雜訊很大，所以和原先未帶雜訊的圖形差異很大。 曲面擬合範例（ 3/6） pointNum = 10。 [xx, yy, zz] = peaks(pointNum)。 zz = zz + randn(size(zz))。 % 加入雜訊 surf(xx, yy, zz)。 axis tight 3210123202420246? 現在我們要用已知的基底函數，來找出最佳的 、 和 ? 範例 106： ? 由此找出的 值和最佳值 相當接近。 曲面擬合範例（ 4/6） 1? 2? 3?pointNum = 10。 [xx, yy, zz] = peaks(pointNum)。 zz = zz + randn(size(zz))/10。 % 加入雜訊 x = xx(:)。 % 轉為行向量 y = yy(:)。 % 轉為行向量 z = zz(:)。 % 轉為行向量 A = [(1x).^2.*exp((x.^2)(y+1).^2), (x/5x.^3y.^5).*exp(x.^2y.^2), exp((x+1).^2y.^2)]。 theta = A\z % 最佳的 theta 值 theta = ? ?????? ?? 31,10,3? 根據上求得之參數，可以輸入較密的點，得到迴歸後的曲面 ? 範例 107： 曲面擬合範例（ 5/6） pointNum = 10。 [xx, yy, zz] = peaks(pointNum)。 zz = zz + randn(size(zz))/10。 % 加入雜訊 x = xx(:)。 y = yy(:)。 z = zz(:)。 % 轉為行向量 A = [(1x).^2.*exp((x.^2)(y+1).^2), (x/5x.^3y.^5).*exp(x.^2y.^2), exp((x+1).^2y.^2)]。 theta = A\z。 % 最佳的 theta 值 % 畫出預測的曲面 pointNum = 31。 [xx, yy] = meshgrid(linspace(3, 3, pointNum), linspace(3, 3, pointNum))。 ? 在上圖中，我們猜對了基底函數，因此得到非常好的曲面擬合。 ? 只要基底函數正確，而且雜訊是正規(guī)分佈，那麼當資料點越來越多，上述的最小平方法就可以逼近參數的真正數值。 曲面擬合範例（ 6/6） x = xx(:)。 y = yy(:)。 % 轉為行向量 A = [(1x).^2.*exp((x.^2)(y+1).^2), (x/5x.^3y.^5).*exp(x.^2y.^2), exp((x+1).^2y.^2)]。 zz = reshape(A*theta, pointNum, pointNum)。 surf(xx, yy, zz)。 axis tight 3210123202420246? 非線性迴歸（ Nonlinear Regression）是一個比較困難的問題，原因如下： ? 無法一次找到最佳解。 ? 無法保證能夠找到最佳解。 ? 須引用各種非線性最佳化的方法。 ? 各種相關數學性質並不明顯。 ? 以數學來描述，假設所用的數學模型是 ? 其中 是輸入向量， 是可變非線性函數， y 是輸出變數。 ? 總平方誤差為 非線性迴歸 ),( ???xfy ???x?? ?21),()( ???? miii xfyE ?????? 用一般最佳化（ Optimization）的方法，來找出 的最小值，例如 ? 梯度下降法（ Gradient Descent） ? Simplex下坡式搜尋（ Simplex Downhill search）：此方法即為 fminsearch指令所採用的方法 ? 假設所用的數學模型為 ? 其中 、 為線性參數，但 λ λ 2 為非線性參數 ? 總平方誤差可表示： ? 欲找出使 為最小的 、 、 λ 1及 λ 2，需將 E 寫成一函式，並由其它最佳化的方法來求出此函式的最小值。 非線性迴歸：誤差值的最小化 )(??Exx eaeay 21 21 ?? ??1a 2a? ?????? mixxi eaeayaaE i12212121 221),( ????E 1a 2a? 我們使用 ? 範例 108： ? 其中 theta 是參數向量，包含了 、 、 λ 1 及 λ 2， data 則是觀察到的資料點，傳回的值 則是總平方誤差。 使用 fminsearch的範例（ 1/3） function squaredError = errorMeasure1(theta, data) x = data(:,1)。 y = data(:,2)。 y2 = theta(1)*exp(theta(3)*x)+theta(2)*exp(theta(4)*x)。 squaredError = sum((yy2).^2)。 1a 2aE? 欲求出 的最小值，我們可使用 fminsearch 指令 ? 範例 109： 使用 fminsearch的範例（ 2/3） Eload theta0 = [0 0 0 0]。 tic theta = fminsearch(@errorMeasure1, theta0, [], data)。 fprintf(39。計算時間 = %g\n39。, toc)。 x = data(:, 1)。 y = data(:, 2)。
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