1675曲線擬合的最小二乘法(編輯修改稿)
2024-11-17 14:35 本頁面
【文章內容簡介】 最小 ， 這與前面講的極值問題完全一樣 ， 系數(shù) 同樣滿足法方程 ， 只是這里 求解法方程組就可得到 ，從而得到， 稱為函數(shù) 的最小二 乘擬合。 20 1 1 21( , , , ) [ ( , , , ) ]mn i i n i i liiF a a a y S x x x?????01, , , na a a1 2 1 21( , ) ( , , , ) ( , , , ) .mk j i k i i li j i i liix x x x x x? ? ? ? ??? ?01, , , na a a12( , , , )nlS x x x 12( , , , )lf x x x17 167。 6 近似最佳一致逼近多項式 由韋爾斯特拉斯定理知存在最佳一致逼近多項 式 （ 伯恩斯坦多項式 ） ? 一 、 截斷切比雪夫級數(shù) 利用切比雪夫多項式良好的逼近性質求近 似最佳一致逼近多項式 。 如果 ，按 展成廣義富 利葉級數(shù)，由正交多項式展開公式（在 滿 足一定條件下可一致收斂） ( ) [ 1 , 1 ]f x C?? { ( )}kTx()fx00( ) ~ ( ) ( ) ~ ( )k k k kkkf x a g x f x C T x???????0( , ) ( )nnkkkB f x f P xn???? ?????( ) (1 )k n kk nP x x xk ????????? 0 ( ) 1nkkPx???18 可得 ～ 此式稱為函數(shù)在 [1,1]上的切比雪夫級數(shù)。 由 得到 這里 **01( ) .2 kkkC C T x??? ?()fx1210,( ) ( ), 0 。21, 0 .nmnmT x T x d xnmxnm???????? ? ??? ??????1*21( ) ( )2 d ( 0 , 1 , ) .1kkf x T xC x kx? ?????( ) c o s ( a r c c o s ) , 1 .kT x k x x??19 若令 ，則 ～ 就是 的富利葉級數(shù)，其中 根據(jù)富利葉級數(shù)理論可知 ， 只要 在 [1,1]上 分段連續(xù) ， 則 的切比雪夫級數(shù)一致收斂于 ， 從而 c os , 0x ? ? ?? ? ?()fx * *01()2 kkkC C T x??? ?(c os )f ?*02 ( c os ) c os d ( 0 , 1 , ) ,kC f k k? ? ? ?????()fx??()fx()fx**01( ) ( ) ,2 kkkCf x C T x???? ?20 取它的部分和 其誤差為 由于 有 n+2個輪流為‘正、負’的偏差點 ，所以 近似 地有 n+2個偏差點，由切比雪夫定理， 可作 為 在 [1,1]上的近似最佳一致逼近多項式， 實際計算表明它與最佳一致逼近多項式 非 常接近，而計算較方便。 *** 01( ) ( ) ,2nn k kkCC x C T x??? ?** 11( ) ( ) ( ) .n n nf x C x C T x????1nT?c os , ( 0 , 1 , , 1 )1k kx k nn ?? ? ?? *( ) ( )nf x C x?*()nCx()fx*()nPx21 例 : 求 在 [1,1]上的切比雪夫展開 。 解 由富利葉級數(shù)系數(shù)公式得 它可用后面介紹的數(shù)值積分方法計算，得到 由 及 的公式得到 () xf x e?* c os02 c os dkC e k? ? ???? ?* * *0 1 2* * *3 4 52 . 5 3 2 1 3 1 7 6 , 1 . 1 3 0 3 1 8 2 1 , 0 . 2 7 1 4 9 5 3 4 ,0 . 0 4 4 3 3 6 8 5 , 0 . 0 0 5 4 7 4 2 4 , 0 . 0 0 0 5 4 2 9 3 .C C CC C C? ? ?? ? ?***01( ) ( ) ,2nn k kkCC x C T x??? ? ()kTx*1* 2 33**13( ) 1 .2 6 6 1 .1 3 0 ,( ) 0 .9 9 4 5 7 1 0 .9 9 7 3 0 8 0 .5 4 2 9 9 1 0 .1 7 7 3 4 7 ,( ) 0 .3 2 , ( ) 0 .0 0 6 0 7 .xxC x xC x x x xe C x e C x????? ? ? ?? ? ? ?22 當區(qū)間為 時可用變量置換 求得近似最佳一致逼近 . 例如，求 在 [0,1]上的近似最 佳一致逼近一次式， 可令 對 按切比雪夫系數(shù)求得 ( 1 1 )22b a b ax t t??? ? ? ? ?[ , ]ab( ) a r c tgf x x?1 ,2tx ?? 11( ) ( ) a r c tg , 1 1.22ttF t f t??? ? ? ? ?00102 c os 1a r c t g( ) d ,22 c os 1a r c t g( ) c os d .2aa?????????????????23 于是 事實上 是奇函數(shù) ， 當區(qū)間為 [1,1]時 ， 它的切比雪夫展開也是奇函數(shù)
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