計算方法-最佳平方逼近-最小二乘法(編輯修改稿)
2024-09-01 16:35 本頁面
【文章內容簡介】 ????????????????????0 . 6 0 91 . 1 4 7aa3121211100 . 4 2 60 . 9 3 4 ，aa 10 ??0 . 4 2 6 x0 . 9 3 4(x)S 1 ???推導在最后一頁 PPT 得最佳平方逼近多項式為： 0 . 0 0 2 6dxx10 . 4 2 6 x )( 0 . 9 3 4dx)x(1( x ) ，f ( x ) )(Sf ( x ) )( f ( x ) ,||δ ( x )|| :平方誤差210102122??????????0 . 0 6 6|0 . 4 2 6 x)(0 . 9 3 4x1|m a x||δ (x )|| :最大值誤差2 ??????1 21 2x1y ??0 . 4 2 6 x0 . 9 3 4(x)S 1 ???紅色 同學們自己求一下 式。1 的最佳平方逼近多項中的關于ρ (x )x}s p a n{1 ,在Φ在[1 / 4 , 1 ]上 的x求f (x ) 例題???得法方程x,aa( x )設所求px,1,已知 解： 10*110 ???? ?????????????????????80311271064213215321543aa??????1 3 588127100aax1 3 5882710( x )p *1 ?????????????????????)( f ,)( f ,aa),(),(),(),(101011011000??????????1/4 1 ( x )p *1 ??1 xf(x ) ? 0 . 0 0 0 1 0 8 2 .||δ (x)|| :平方誤差 22 ?。和一個線性函數差丌多x1 ] 上，f ( x ) ,41觀察：在[ ?)(dxx||δ ( x ): | |平方誤差 1 3 588803112 7271012241????? ?Home 曲線擬合的最小二乘法 . 曲線擬合的最小二乘法 若已知 f(x)在點 xi(i=1,2,…,n)處的值 yi,便可根據揑值原理來建立揑值多項式作為 f(x)的近似。 但在科學實驗和生產實踐中，往往會遇到下述情況： 1) 節(jié)點上的函數值是 由實驗或觀測得到的數據 ，帶有 測量誤差，若要求近似函數曲線通過所有的點 (xi,yi)，就會使曲線保留著一切測試誤差； 3) 由實驗或觀測提供的數據個數往往很多，如果用揑 值法 ,勢必得到次數較高的揑值多項式，計算很煩瑣。 2) 當個別數據的誤差較大時，揑值效果可能丌理想； 最小二乘法的思想 求一條曲線 ,使數據點均在離此曲線的上方或下方丌遠處 ,所求的曲線稱為擬合曲線 ,它 ? 既能反映數據的總體分布 ,又丌至于出現局部較大的波動； ? 更能反映被逼近函數的特性 ,使求得的逼近函數不已知函數從總體上來說其偏差按某種方法度量達到最小。 為此，希望從給定的數據 (xi,yi)出發(fā) ,構造一個近似函數 ,丌要求函數 完全通過所有的數據點，只要求所得的近似曲線能反映數據的基本趨勢，如圖 所示。 (x)? (x)?圖 曲線擬合示意圖 在某種意義上 ,曲線 擬合更有實用價值 。 y=φ(x) x y 在對給出的實驗 (或觀測 )數據作曲線擬合時 ,怎樣才算擬合得最好呢 ？ 一般希望各實驗 (或觀測 )數據 不擬合曲線的偏差的 平方和最小 ,這就是最小二乘原理 。 n,0 , 1 ,i ),y(x ii ??，兩種逼近概念 : 揑值 : 在節(jié)點處函數值相同 . 擬合 : 在數據點處誤差平方和最小 … 問題的提出： ? 函數解析式未知 ,通過實驗觀測得到的一組數據 , 代表 f(x)在區(qū)間 [a, b]上的一系列點的函數值 yi= f(xi)，通常由函數表來表達。 x x0 x1 x2 … xn y y0 y1 y2 … yn y=f(x) 要求出一個比較簡單的函數 ( x )y ??丌要求函數 完全通過所有的數據點，只要求所得的近似曲線 能反映數據的基本趨勢。 (x)?( x )y ??希望在某種范數下，誤差 ||f||||e|| ?? ?比較小。 y=φ(x) 很多情況下， y=f(x)的表達 式是未知的 當使用 2范數的時候 ? ?212n0iii21n0i2i2 )f ( x)(xεe????????????????????? ????????????n0i2iin0i2i22 )]f ( x)(x[ε||e|| ?要求： 這種要求誤差（偏差）平方和最小的擬合稱為曲線擬合的最小二乘法。 為最小
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