計(jì)算方法-最佳平方逼近-最小二乘法(編輯修改稿)
2024-09-01 16:35 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ????????????????????0 . 6 0 91 . 1 4 7aa3121211100 . 4 2 60 . 9 3 4 ，aa 10 ??0 . 4 2 6 x0 . 9 3 4(x)S 1 ???推導(dǎo)在最后一頁(yè) PPT 得最佳平方逼近多項(xiàng)式為： 0 . 0 0 2 6dxx10 . 4 2 6 x )( 0 . 9 3 4dx)x(1( x ) ，f ( x ) )(Sf ( x ) )( f ( x ) ,||δ ( x )|| :平方誤差210102122??????????0 . 0 6 6|0 . 4 2 6 x)(0 . 9 3 4x1|m a x||δ (x )|| :最大值誤差2 ??????1 21 2x1y ??0 . 4 2 6 x0 . 9 3 4(x)S 1 ???紅色 同學(xué)們自己求一下 式。1 的最佳平方逼近多項(xiàng)中的關(guān)于ρ (x )x}s p a n{1 ,在Φ在[1 / 4 , 1 ]上 的x求f (x ) 例題???得法方程x,aa( x )設(shè)所求px,1,已知 解： 10*110 ???? ?????????????????????80311271064213215321543aa??????1 3 588127100aax1 3 5882710( x )p *1 ?????????????????????)( f ,)( f ,aa),(),(),(),(101011011000??????????1/4 1 ( x )p *1 ??1 xf(x ) ? 0 . 0 0 0 1 0 8 2 .||δ (x)|| :平方誤差 22 ?。和一個(gè)線性函數(shù)差丌多x1 ] 上，f ( x ) ,41觀察：在[ ?)(dxx||δ ( x ): | |平方誤差 1 3 588803112 7271012241????? ?Home 曲線擬合的最小二乘法 . 曲線擬合的最小二乘法 若已知 f(x)在點(diǎn) xi(i=1,2,…,n)處的值 yi,便可根據(jù)揑值原理來(lái)建立揑值多項(xiàng)式作為 f(x)的近似。 但在科學(xué)實(shí)驗(yàn)和生產(chǎn)實(shí)踐中，往往會(huì)遇到下述情況： 1) 節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值是 由實(shí)驗(yàn)或觀測(cè)得到的數(shù)據(jù) ，帶有 測(cè)量誤差，若要求近似函數(shù)曲線通過(guò)所有的點(diǎn) (xi,yi)，就會(huì)使曲線保留著一切測(cè)試誤差； 3) 由實(shí)驗(yàn)或觀測(cè)提供的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)往往很多，如果用揑 值法 ,勢(shì)必得到次數(shù)較高的揑值多項(xiàng)式，計(jì)算很煩瑣。 2) 當(dāng)個(gè)別數(shù)據(jù)的誤差較大時(shí)，揑值效果可能丌理想； 最小二乘法的思想 求一條曲線 ,使數(shù)據(jù)點(diǎn)均在離此曲線的上方或下方丌遠(yuǎn)處 ,所求的曲線稱為擬合曲線 ,它 ? 既能反映數(shù)據(jù)的總體分布 ,又丌至于出現(xiàn)局部較大的波動(dòng)； ? 更能反映被逼近函數(shù)的特性 ,使求得的逼近函數(shù)不已知函數(shù)從總體上來(lái)說(shuō)其偏差按某種方法度量達(dá)到最小。 為此，希望從給定的數(shù)據(jù) (xi,yi)出發(fā) ,構(gòu)造一個(gè)近似函數(shù) ,丌要求函數(shù) 完全通過(guò)所有的數(shù)據(jù)點(diǎn)，只要求所得的近似曲線能反映數(shù)據(jù)的基本趨勢(shì)，如圖 所示。 (x)? (x)?圖 曲線擬合示意圖 在某種意義上 ,曲線 擬合更有實(shí)用價(jià)值 。 y=φ(x) x y 在對(duì)給出的實(shí)驗(yàn) (或觀測(cè) )數(shù)據(jù)作曲線擬合時(shí) ,怎樣才算擬合得最好呢 ？ 一般希望各實(shí)驗(yàn) (或觀測(cè) )數(shù)據(jù) 不擬合曲線的偏差的 平方和最小 ,這就是最小二乘原理 。 n,0 , 1 ,i ),y(x ii ??，兩種逼近概念 : 揑值 : 在節(jié)點(diǎn)處函數(shù)值相同 . 擬合 : 在數(shù)據(jù)點(diǎn)處誤差平方和最小 … 問(wèn)題的提出： ? 函數(shù)解析式未知 ,通過(guò)實(shí)驗(yàn)觀測(cè)得到的一組數(shù)據(jù) , 代表 f(x)在區(qū)間 [a, b]上的一系列點(diǎn)的函數(shù)值 yi= f(xi)，通常由函數(shù)表來(lái)表達(dá)。 x x0 x1 x2 … xn y y0 y1 y2 … yn y=f(x) 要求出一個(gè)比較簡(jiǎn)單的函數(shù) ( x )y ??丌要求函數(shù) 完全通過(guò)所有的數(shù)據(jù)點(diǎn)，只要求所得的近似曲線 能反映數(shù)據(jù)的基本趨勢(shì)。 (x)?( x )y ??希望在某種范數(shù)下，誤差 ||f||||e|| ?? ?比較小。 y=φ(x) 很多情況下， y=f(x)的表達(dá) 式是未知的 當(dāng)使用 2范數(shù)的時(shí)候 ? ?212n0iii21n0i2i2 )f ( x)(xεe????????????????????? ????????????n0i2iin0i2i22 )]f ( x)(x[ε||e|| ?要求： 這種要求誤差（偏差）平方和最小的擬合稱為曲線擬合的最小二乘法。 為最小
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