最小二乘法的原理及在建模中的應(yīng)用分析(編輯修改稿)
2025-07-26 03:36 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 解得 (13)將,值帶入線性方程,即得到線性方程.為了加深對最小二乘擬合原理的理解,現(xiàn)舉出如下例子,通過舉例使大家對最小二乘擬合有所掌握. 已知一組實驗數(shù)據(jù)如表11所示,求它的擬合曲線.表11 數(shù)據(jù)表1234524589. 散點圖發(fā)現(xiàn)這些點在一條直線附近,.其次,由已知有,求得,于是法方程為由公式(13)得,并解此方程組得故所得的擬合函數(shù)為 非線性模型在許多實際問題中,變量之間的關(guān)系并不都是線性的,也就是說變量之間存在非線性關(guān)系,:一種是進(jìn)行一些變換,將非線性問題化成線性問題來求解。另一種是不能化成線性問題,這是一個非線性模型,但令即可化為對的線性模型同樣,對于多項式模型只要令就可以得到線性模型在比如,非線性模型 (14)兩邊取自然對數(shù),得 (15)令就可以得到線性模型有些非線性模型是不能化成線性模型的,比如模型當(dāng)未知時,我們就不能通過對兩邊取對數(shù)化成線性模型, 式中,是因變量。是自變量。為未知參數(shù)向量。, , 且互相獨立.仍采用最小二乘法估計參數(shù),即求使達(dá)到最小的,可以利用微分法,建立正規(guī)方程組,并令其為0,得p+1個方程, 非線性最小二乘估計就是上時的解. 設(shè)一發(fā)射源的發(fā)射強(qiáng)度公式為與的數(shù)據(jù)如表12.表12 發(fā)射源數(shù)據(jù)表試用最小二乘法確定.由公式(14)和(15),先求數(shù)據(jù)表如表13所示.表13 與的數(shù)據(jù)表由最小二乘擬合原理,得則其解為所以即發(fā)射強(qiáng)度公式近似為. 發(fā)射源指數(shù)擬合圖 總結(jié)綜上所述,最小二乘法就是以最小二乘原理為依據(jù),同時解出一組未知參量的最佳值,它所做出的曲線擬合能夠清晰地表現(xiàn)出變量間的函數(shù)關(guān)系,建立模型函數(shù),根據(jù)經(jīng)驗,有以下圖作參考,. 函數(shù)圖形 函數(shù)圖形 函數(shù)圖形 函數(shù)圖形 函數(shù)圖形 函數(shù)圖形 函數(shù) 圖形 函數(shù)圖形由實際數(shù)據(jù),建立出比較合適的模型,在求解模型的系數(shù)中可以借助計算機(jī)軟件,如matlab,最終得到比較理想的擬合函數(shù).當(dāng)然,有些時候也可以先把擬合的模型化為比較好處理的函數(shù),例如,對函數(shù),可以令,只要擬合和的函數(shù),再把x和y回代即可,以下給出常用函數(shù)與之間的變換,如表14所示.表14 線性化變化函數(shù)線性化形式變量與常數(shù)變換在實際中,由于數(shù)據(jù)的不確定性與不穩(wěn)定性,因為給出的函數(shù)過于簡單往往并不能真實反映實際問題,而過于復(fù)雜,對不同的實際問題,應(yīng)靈活建立數(shù)學(xué)模型,結(jié)合計算機(jī)軟件,準(zhǔn)確的擬合出模型函數(shù).第二章 最小二乘法在建模中的應(yīng)用隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展,. 應(yīng)用舉例 已知一組離散數(shù)據(jù)如表21,試用二次多項式進(jìn)行曲線擬合,并求出誤差.表21 數(shù)據(jù)表012340首先將數(shù)據(jù)點描于坐標(biāo)紙上,. 散點圖然后利用公式計算內(nèi)積,寫出法方程,其法方程為解得故擬合所得的曲線為經(jīng)計算所得的誤差為對于給定的離散數(shù)據(jù)也可以用二次多項式擬合,故當(dāng)其是二次多項式時,經(jīng)計算得法方程為解得故擬合曲線為.經(jīng)計算得誤差為故從誤差可以看出,. 一次函數(shù)與二次函數(shù)對比圖 病態(tài)方程在最小二乘解法中,當(dāng)取時,。當(dāng)取時,系數(shù)矩陣的條件數(shù)為。取時,其擬合原理與用多項式作擬合的原理類同,(Schmidt):設(shè)線性無關(guān),若取則是兩兩正交的非零向量組,則將單位化,即令則向量組是標(biāo)準(zhǔn)正交向量組. .首先利用公式依次求出{,}上關(guān)于權(quán)函數(shù)的正交多項式,.得:,然后由正交多項式求出曲線擬合的二次多項式的系數(shù),.由 解得 所以得出的二次擬合多項式為 . 二次曲線擬合圖由此可以看出,采用正交多項式所得的有效數(shù)字更多,故更為精確. 建模分析 以下表22顯示出我國若干年份的研究生實際招生人數(shù),請運用此表和所學(xué)的數(shù)值計算理論,嘗試選擇合適的算法來測算2011和2012年可能的招生人數(shù).表22 研究生招生計劃年 份199920002001200220032004200520062007200820092010
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