計算方法-最佳平方逼近-最小二乘法(已修改)
2024-08-22 16:35 本頁面
【正文】 第 5次 最佳平方逼近不曲線擬合的最小二乘法 計算方法 (Numerical Analysis) 主要內(nèi)容 ? 最佳平方逼近 ? 曲線擬合的最小二乘法 最佳平方逼近 函數(shù)逼近的類型 ? 最佳一致逼近 ：使用多項式對連續(xù)函數(shù)進(jìn)行一致逼近。逼近誤差使用范數(shù) |( x )sf ( x )|m a x||( x )sf ( x )|| bxa ????? ?度量。 ? 最佳平方逼近 ：使用多項式 s(x)對連續(xù)函數(shù) f(x)進(jìn)行平方逼近。逼近誤差使用范數(shù) dxs ( x ) ][ f ( x )ρ ( x )||s ( x )f ( x )|| 2ba22 ??度量。 權(quán)函數(shù) 這種度量太強 ( 設(shè)權(quán)函數(shù)為1 )||s (x )f (x )||不||s (x )f (x )||求 別 在[ 0 , 1 ]上 ，分x,1 ，s (x )設(shè)f (x )2???1|x1|m a x||s (x)f (x)||解：1x0?????練習(xí)： 31dxx)(1||s ( x )f ( x )||10222 ??? ?0 . 5 7 833||s ( x )f ( x )||2 ??b ]上 的權(quán)函數(shù)。就稱ρ (x )為 [a , b ]；[a , x0，g (x ) 則必有 0,dxg (x )ρ (x) 若g (x ),b ]上 的非負(fù)連續(xù)函數(shù)對于[a , (2 ) 。2, 1, 0,k d x存 在,ρ (x )x (1 )若 b ]上 的非負(fù)函數(shù),設(shè)ρ (x )是 區(qū)間[a 定義4babak???????權(quán)函數(shù)的定義 … 權(quán)函數(shù) ρ(x)和基函數(shù)乘法的積分 權(quán)函數(shù)的 非 0性質(zhì) 權(quán)函數(shù)的意義： 強化或弱化某部分積分函數(shù)值的影響。 例如：在 [0, 5]上，取 則積分 3xρ ( x ) ?dxg ( x )x503?起到了弱化 g(x)在區(qū)間 [0, 1]的函數(shù)值，強化 g(x)在區(qū)間 [1, 5]的函數(shù)值的作用。 離散權(quán)函數(shù) ：在學(xué)生成績系統(tǒng)中 總分 =a*平時分 +b*實驗分 +c*作業(yè)分 +d*期末分 例如，老師彔入系數(shù)： a=， b=, c=, d= ，則 {a, b, c, d}即為離散的權(quán)函數(shù)。 則可定義內(nèi)積：上的權(quán)函數(shù),b]ρ ( x ) 為[a,b ] ,C [ a,g ( x )設(shè)f (x ) , ?1 / 2ba2212 (x )d xρ (x )ff)(f ,||f (x )|| ???????? ?f ( x ) g ( x ) d xρ ( x )g)( f ,ba????? ba f ( x ) g ( x ) d xg)( f ,1,當(dāng)ρ1 / 2ba22 ( x ) d xf||f ( x )|| 則 1，若ρ ???????? ?由內(nèi)積可以定義范數(shù) (度量 )： 內(nèi)積的定義： 167。4 最佳平方逼近 n 次多項式ρ ( x ) 為權(quán)函數(shù)，若 b ] ,C [ a ,設(shè)f ( x ) ?d x s ( x )]ρ ( x ) [f ( x )m i ndx(x)]*sρ ( x ) [f ( x ) ba 2Hs ( x )ba2n ??????逼近多項式.b ]上 的n 次最佳平方a,( x) 為f (x )在 [*則稱s滿足 連續(xù)函數(shù)的 最佳平方多項式逼近 nn10 xaxaa( x )*s??? ???????討論： ? 最佳平方多項式逼近 ：采用 {1, x, x2 ,…,xn }作為基函數(shù)，由此生成的多項式對 f(x)進(jìn)行平方逼近 . }aa{a},s p a n {Φnn1100n0????????????? ?中的函數(shù)對已知的連續(xù)函數(shù) f(x)進(jìn)行逼近。 作為基函數(shù)。 ( x ) },( x ) ,( x ) ,{ n10 ??? ?? 一般情況下 ：采用線性無關(guān)的連續(xù)函數(shù) … … 由此生成的線性空間 。上的最佳平方逼近函數(shù) ( x )為 f (x ) 在Φ*則稱sdxs (x ) ]ρ ( x )[ f ( x )m i ndx( x )]*sρ ( x )[ f ( x )Φ ，滿足(x)*在s 存 ρ ( x ) 為權(quán)函數(shù)，若 b ] ，C [ a,},s p an{Φ b ] ,C [ a,設(shè)f (x )ba2Φs ( x )ba2n0?? ?????????? ?連續(xù)函數(shù)的在線性空間最佳平方逼近 集合。即為全體n 次多項式的}x,xx,s p a n { 1 ,},s p a n {則Φx,xx,1,若取 n2n0nn2210??????????????? 【 注 】 … … … … 使得,即求系數(shù)a,a( x )*問題歸結(jié)為求s *jn0jj*j??? ?求導(dǎo)，得：對a取得極小值。上式兩端 k??? ??ba kba kjn0jj ( x ) d xρ ( x ) f ( x )dx( x )( x )ρ ( x ) a ???n0 ,
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