平方逼近離散ppt課件(已修改)
2025-05-11 01:17 本頁面
【正文】 第六章函數(shù)逼近（ 曲線擬合）Date 阜師院數(shù)科院第六章目錄167。1最小二乘法原理和多項式擬合最小二乘法原理和多項式擬合167。2一般最小二乘擬合一般最小二乘擬合167。3正交多項式曲線擬合正交多項式曲線擬合167。4函數(shù)的最佳平方逼近函數(shù)的最佳平方逼近167。5最佳一致逼近最佳一致逼近Date 阜師院數(shù)科院函數(shù)逼近 （曲線擬合） 概述用簡單的計算量小的函數(shù)用簡單的計算量小的函數(shù) P(x)近似地替代近似地替代給定的函數(shù)給定的函數(shù) f (x)（（ 或者是以離散數(shù)據(jù)形式給或者是以離散數(shù)據(jù)形式給定的函數(shù)），以便迅速求出函數(shù)值的近似值定的函數(shù)），以便迅速求出函數(shù)值的近似值，是計算數(shù)學中最基本的概念和方法，稱為，是計算數(shù)學中最基本的概念和方法，稱為函數(shù)逼近函數(shù)逼近 。通常被逼近的函數(shù)一般較復雜。通常被逼近的函數(shù)一般較復雜，或只知道離散點處的值，難于分析，而逼近或只知道離散點處的值，難于分析，而逼近函數(shù)則比較簡單，如選用多項式，有理函數(shù)函數(shù)則比較簡單，如選用多項式，有理函數(shù)，分段多項式，三角多項式等。，分段多項式，三角多項式等。Date 阜師院數(shù)科院函數(shù)逼近 （曲線擬合） 概述（續(xù)）在大量的實驗數(shù)據(jù)在大量的實驗數(shù)據(jù) (xi,yi)(i =1,2,…, n)中尋找其函數(shù)中尋找其函數(shù)關(guān)系關(guān)系 y =f (x)的近似函數(shù)的近似函數(shù) P (x)， 是在實踐中常遇到的。是在實踐中常遇到的。上一章介紹的插值方法就是一種逼近，要求在給定的上一章介紹的插值方法就是一種逼近，要求在給定的節(jié)點處節(jié)點處 P(x)與與 f (x)相等（甚至導數(shù)值相等），因此在節(jié)相等（甚至導數(shù)值相等），因此在節(jié)點附近，逼近效果較好，而在遠離節(jié)點的地方，由點附近，逼近效果較好，而在遠離節(jié)點的地方，由Runge現(xiàn)象知道，有時效果會很差，另一方面，由觀測現(xiàn)象知道，有時效果會很差，另一方面，由觀測得到的實驗數(shù)據(jù)不可避免地帶有誤差，甚至是較大的得到的實驗數(shù)據(jù)不可避免地帶有誤差，甚至是較大的誤差，此時要求近似函數(shù)誤差，此時要求近似函數(shù) P(x)過全部已知點，相當于保過全部已知點，相當于保留全部數(shù)據(jù)誤差，所以使用插值法不合適。因此，對留全部數(shù)據(jù)誤差，所以使用插值法不合適。因此，對逼近函數(shù)逼近函數(shù) P(x)不必要求過給定的點，即不要求不必要求過給定的點，即不要求 P(xi)=yi(i =1,2,…, n)， 只要求只要求 P(xi)–yi 總體上盡可能小 即要求即要求P(x)盡可能反映給定數(shù)據(jù)點的總體趨勢盡可能反映給定數(shù)據(jù)點的總體趨勢 ，在某種意義（要求或標準）下與函數(shù)最在某種意義（要求或標準）下與函數(shù)最 “逼近逼近 ”。下面先舉例說明。下面先舉例說明。Date 阜師院數(shù)科院函數(shù)逼近舉例給定一組實驗數(shù)據(jù)如上，求給定一組實驗數(shù)據(jù)如上，求 x,y的函數(shù)關(guān)系。的函數(shù)關(guān)系。例例 11 2 3 42 4 6 8 ixiyi解解 先作草圖如圖先作草圖如圖 61所示這些點的分布接近一條直線，因所示這些點的分布接近一條直線，因此可設想，此可設想， y為為 x的一次函數(shù)。設的一次函數(shù)。設 y=a0+a1x， 從圖中不難看從圖中不難看出，無論出，無論 a0， a1取何值，直線都不可能同時過全部數(shù)據(jù)點。取何值，直線都不可能同時過全部數(shù)據(jù)點。怎樣選取怎樣選取 a0， a1才能使直線才能使直線 “最好最好 ”地反映數(shù)據(jù)點的總體趨地反映數(shù)據(jù)點的總體趨勢？首先要建立好壞的標準。勢？首先要建立好壞的標準。 假定假定 a0， a1已經(jīng)確定，已經(jīng)確定， yi*=a0+a1xi(i =1,2,…, n)是由近似是由近似函數(shù)求得的近似值，它與觀測值函數(shù)求得的近似值，它與觀測值yi 之差之差 ri =yi?yi*=yi ?a0?a1xi(i =1,2,…, n)稱為稱為 偏差偏差 。顯然。顯然，偏差偏差 的大小可作為衡量近似的大小可作為衡量近似函數(shù)好壞的標準。偏差向量函數(shù)好壞的標準。偏差向量r =(r1,r2,…, rn)T，yx86422 4 6 8****圖圖 61Date 阜師院數(shù)科院例 1（續(xù)）（（ 1）使偏差的絕對值）使偏差的絕對值之和最小，即之和最小，即 :（（ 2）使偏差的最大絕對）使偏差的最大絕對 值達到最小，即值達到最小，即 :（（ 3）使偏差的平方和最小，即）使偏差的平方和最小，即 :在離散情況下在離散情況下 ,也稱為也稱為 曲線擬合的最小二乘法曲線擬合的最小二乘法 ,是實是實踐中常用的一種踐中常用的一種 函數(shù)逼近方法函數(shù)逼近方法 。常用的準則有以下三種：常用的準則有以下三種：準則準則 （（ 1）） 的提出很自然也合理，但實際使用不方便，的提出很自然也合理，但實際使用不方便，按準則按準則 （（ 2）） 求近似函數(shù)的方法稱為函數(shù)的最佳一致逼近求近似函數(shù)的方法稱為函數(shù)的最佳一致逼近按準則按準則 （（ 3）） 確定參數(shù)，求近似函數(shù)的方法稱為最佳平確定參數(shù)，求近似函數(shù)的方法稱為最佳平方逼近方逼近 ,ri =yi?yi*=yi ?a0?a1xiDate 阜師院數(shù)科院函數(shù)的近似替代，求近似函數(shù)稱為逼近要求（準則或標準）不一樣，逼要求（準則或標準）不一樣，逼近的
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