平方逼近離散ppt課件(參考版)
2025-05-02 01:17本頁面
【正文】 觀測數(shù)據(jù)表觀測數(shù)據(jù)表Date 阜師院數(shù)科院。y ? ? Date 阜師院數(shù)科院x 0 y 0 ? ? ? ? ? ? x y x 用離散正交多項式求四次擬合多項式 方案 III 束Date 阜師院數(shù)科院由此可得最小二乘二次擬合多項式為：由此可得最小二乘二次擬合多項式為：Date 阜師院數(shù)科院第六章結(jié) 并且當逼近次數(shù)增加一次時，只需在原有的多項式中增加逼近次數(shù)增加一次時，只需在原有的多項式中增加一項，即在上例還可求三次、四次擬合多項式。這與例這與例 2的計算法結(jié)果的計算法結(jié)果 相同相同 ，但不必要解正規(guī)方程組，但不必要解正規(guī)方程組，而只需要計算內(nèi)積，而只需要計算內(nèi)積， 避免出現(xiàn)病態(tài)方程組的可能避免出現(xiàn)病態(tài)方程組的可能 。yi Date 阜師院數(shù)科院擬合多項式舉例（續(xù)）i 1 2 3 4 5 6 7 8 9而由系數(shù)而由系數(shù) ak的計算公式有的計算公式有 例例 7解：解： 按三項遞推式及按三項遞推式及 αk ,按按 （（ 69）） 寫出擬合多項式寫出擬合多項式 ?(x)。2.{?0(x),?1(x),…, ?m(x)}；；1.這樣可總結(jié)利用離散正交多項式求給定這樣可總結(jié)利用離散正交多項式求給定 (xi,yi)(i=1,2,…, n)帶權(quán)帶權(quán) ?i (i=1,2,…, n)的的 擬合多項式的步驟擬合多項式的步驟（逐步構(gòu)造（逐步構(gòu)造 ?k(x)法）：法）：（緊接下屏）（緊接下屏）Date 阜師院數(shù)科院求給定 (xi,yi)：：（緊接下屏）（緊接下屏）Date 阜師院數(shù)科院用離散正交多項式作曲線擬合（續(xù)）使其滿足式（使其滿足式（ 62），利用多項式），利用多項式 {?0(x), ?1(x),…, ?m(x)}Span{?0(x), ?1(x),…, ?m(x)} Φ為點集為點集 xi 則認為則認為 ?i ?i為給定數(shù)據(jù)。用離散正交多項式作曲線擬合 10/3 2/3 8/3 8/3 2/3 10/3表表 61Date 阜師院數(shù)科院 1 1 1 1 1 1 中，以便求下一個中，以便求下一個?k+1(x)時使用。 一般認為一般認為 ?i 試構(gòu)造點集試構(gòu)造點集 {0,1,2,3,4,5}上的離散正交多項式系上的離散正交多項式系{?0(x), ?1(x), ?2(x), ?3(x)}成立。因此對因此對 k =由歸納法原理，對一切自然數(shù)，多項式系由歸納法原理，對一切自然數(shù)，多項式系 {?0, ?1,…, ?m}滿足正交條件，因此是點集滿足正交條件，因此是點集 {xi}上關(guān)于上關(guān)于 ?i的正交多項式系的正交多項式系。=當當 k = 1時時 ， 利用式利用式 （（ 66）） 中第二式得中第二式得 :從而證明了從而證明了 ?0(x)用數(shù)學歸納法證明用數(shù)學歸納法證明離散正交多項式。定理定理 離散正交多項式（續(xù)）離散正交多項式（續(xù)）對于給定的節(jié)點 {x1,x2,…, xn}， 可以按下列公式（ 稱為三項遞推式 ）構(gòu)造離散正交多項式系： 如果如果 兩個多項式兩個多項式 ?k(x) 、 ?j(x)滿足滿足 :Date 阜師院數(shù)科院這樣的這樣的 ?k(x)是是 首項系數(shù)為首項系數(shù)為 1的的 k次多項式，下面的次多項式，下面的 定理定理給出了給出了 {?k(x)}為點集為點集 {x1,x2,…, xn}上的上的 帶權(quán)帶權(quán)?i設(shè) {?0(x), ?1(x),…, ?m(x)}為多項式系，為多項式系， ?k(x)為為 k次次 多多項式項式 則則 稱稱 ?k(x)與與 ?j(x)在點集在點集 {x1,x2,…, xn}上是帶權(quán)上是帶權(quán) ?i離散正交離散正交的的 。和和 ?j(x)， 式（式（ 64）定義了在離散情況）定義了在離散情況下的下的 內(nèi)積內(nèi)積 ：： 也可以通過 生標的平移和伸縮變換生標的平移和伸縮變換 ，去降低法方程組的去降低法方程組的 病態(tài)病態(tài) 程度?？梢赃x用適用于病態(tài)病態(tài) 方程組求解的數(shù)值方法如方程組求解的數(shù)值方法如 奇異值分解法奇異值分解法 等去求等去求解法方程組。因此，一般情況下，對線性最小二乘問題，要因此，一般情況下，對線性最小二乘問題，要得到最小二乘擬合多項式得到最小二乘擬合多項式 ,就面臨著要求解就面臨著要求解 病態(tài)病態(tài) 方方程組這一困難，要克服這一困難。因此，在實際應用時，用時， m不能太大，也即曲線擬合的多項式的次數(shù)不能太大，也即曲線擬合的多項式的次數(shù)不會太大，多用低次的。當當 m較大時為病態(tài)較大時為病態(tài)陣（陣（ m太大，大小都為病態(tài)的）。求解線性最小二乘問題，必須求解正規(guī)方程組，然而困求解線性最小二乘問題，必須求解正規(guī)方程組，然而困難的是最小二乘法的正規(guī)方程組往往是病態(tài)的，在難的是最小二乘法的正規(guī)方程組往往是病態(tài)的，在 （（ 65））中，當中，當 ?k(x)=xk 時，正規(guī)方程組的系數(shù)矩陣：時，正規(guī)方程組的系數(shù)矩陣：與矩陣與矩陣 Date 阜師院數(shù)科院167。實際計算才能選到較好的模型。用它作為擬合曲線更好。F2(t)e a =,b=yi)， 然后進行多項式擬合，解得然后進行多項式擬合，解得 a同擬合函數(shù)為雙曲線型過程類似，先由同擬合函數(shù)為雙曲線型過程類似，先由 (ti
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