《平方逼近離散》ppt課件-文庫(kù)吧
2025-04-14 01:17 本頁(yè)面
【正文】 意義不一樣，因此，方法不一樣近的意義不一樣，因此，方法不一樣，結(jié)果也不一樣。，結(jié)果也不一樣。 插值是逼近插值是逼近 ，滿足，滿足條件條件 Ln(xi)=yi 是在是在 “過(guò)給定點(diǎn)過(guò)給定點(diǎn) ”意義下意義下的逼近。要求的逼近。要求 Ln(xi)yi 總體上盡可能小,滿足 準(zhǔn)則準(zhǔn)則 （（ 3）） 稱為稱為 最佳平方逼近最佳平方逼近 ,在在離散情況下離散情況下 ,也稱為也稱為 曲線擬合的最小二曲線擬合的最小二乘法乘法 .Date 阜師院數(shù)科院167。1最小二乘法原理和多項(xiàng)式擬合 一、曲線擬合的最小二乘法基本原理一、曲線擬合的最小二乘法基本原理 對(duì)給定的數(shù)據(jù)對(duì)給定的數(shù)據(jù) (xi,yi)(i =1,2,…, n)， 選取近似函數(shù)形式，選取近似函數(shù)形式，即在給定的函數(shù)類即在給定的函數(shù)類 Φ中，求函數(shù)中，求函數(shù) ?(x)?Φ， 使偏差使偏差ri=?(xi)?yi(i=1,2,…, n)的平方和為最小，即的平方和為最小，即 :亦即亦即:從幾何上講，就是求在給定的點(diǎn)從幾何上講，就是求在給定的點(diǎn) x1,x2,…, xn處與點(diǎn)處與點(diǎn)(x1,y1),(x2,y2),…,( xn,yn)的距離平方和最小的曲線的距離平方和最小的曲線 y=? (x)。 這種求近似函數(shù)的方法稱為這種求近似函數(shù)的方法稱為 離散數(shù)據(jù)曲線擬合的最小離散數(shù)據(jù)曲線擬合的最小二乘法二乘法 ，函數(shù)，函數(shù) ? (x)稱為這組數(shù)據(jù)的最小二乘擬合函數(shù)。稱為這組數(shù)據(jù)的最小二乘擬合函數(shù)。通常取通常取 Φ為一些較簡(jiǎn)單函數(shù)的集合如低次多項(xiàng)式，指數(shù)為一些較簡(jiǎn)單函數(shù)的集合如低次多項(xiàng)式，指數(shù)函數(shù)等。函數(shù)等。 例例 1中取中取 Φ為一次多項(xiàng)式集合。為一次多項(xiàng)式集合。 Date 阜師院數(shù)科院二、多項(xiàng)式擬合 對(duì)于給定的一組數(shù)據(jù)對(duì)于給定的一組數(shù)據(jù) (xi,yi)(i =1,2,…, n)， 求一多項(xiàng)式求一多項(xiàng)式 (m n)使得使得:為最小，即選取參數(shù)為最小，即選取參數(shù)aj(j =0,1,…, m)使得使得 :其中其中 Φ為不超過(guò)為不超過(guò) m次次 多項(xiàng)式的集合。這就是數(shù)據(jù)的多項(xiàng)多項(xiàng)式的集合。這就是數(shù)據(jù)的多項(xiàng)式擬合，式擬合， Pm(x)稱為這組數(shù)據(jù)的稱為這組數(shù)據(jù)的 m次擬合多項(xiàng)式次擬合多項(xiàng)式 。與求解與求解 矛盾線性方程組的最小二乘法矛盾線性方程組的最小二乘法 的方法相同，由多的方法相同，由多元函數(shù)求極值的必元函數(shù)求極值的必要條件，得方程組要條件，得方程組 :移項(xiàng)得移項(xiàng)得 :（緊接下屏）（緊接下屏）Date 阜師院數(shù)科院多項(xiàng)式擬合（續(xù)）打開(kāi)和式打開(kāi)和式 即：即：這是最小二乘擬合多項(xiàng)式的系數(shù)這是最小二乘擬合多項(xiàng)式的系數(shù) ak(k =0,1,…, m)應(yīng)滿足的方程組應(yīng)滿足的方程組，稱為正規(guī)方程組或法方程組。由函數(shù)組，稱為正規(guī)方程組或法方程組。由函數(shù)組 {1,x,x2,…, xm}的線性無(wú)關(guān)的線性無(wú)關(guān)性可以證明，上述法方程組存在唯一解，且解所對(duì)應(yīng)的性可以證明，上述法方程組存在唯一解，且解所對(duì)應(yīng)的 m次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式Pm(x)必定是已給數(shù)據(jù)必定是已給數(shù)據(jù) (xi,yi)(i =1,2,…, n)的最小二乘的最小二乘 m次擬合多項(xiàng)式次擬合多項(xiàng)式。 如圖如圖 61表明，可用一次多項(xiàng)式表明，可用一次多項(xiàng)式 P1(x)=a0+a0x擬合例擬合例 1中數(shù)據(jù)組所中數(shù)據(jù)組所給定的函數(shù)關(guān)系，將所給數(shù)據(jù)代入正規(guī)方程組可得：給定的函數(shù)關(guān)系，將所給數(shù)據(jù)代入正規(guī)方程組可得： 其解為其解為 a0=?,a1=， 所以：所以：y=?+ 就是所給數(shù)據(jù)組就是所給數(shù)據(jù)組的最小二的最小二 乘擬合多項(xiàng)式。乘擬合多項(xiàng)式。 Date 阜師院數(shù)科院最小二乘二次擬合多項(xiàng)式舉例 例例 2求下面數(shù)據(jù)表的最小二乘二次擬合多項(xiàng)式求下面數(shù)據(jù)表的最小二乘二次擬合多項(xiàng)式 ：：i 1 2 3 4 5 6 7 8 9xi 1 0 1yi 解：解： 設(shè)二次擬合多項(xiàng)式設(shè)二次擬合多項(xiàng)式為為 P2(x)=a0+a1x+a2x2，將數(shù)據(jù)表直接代將數(shù)據(jù)表直接代 入正入正規(guī)方程組：規(guī)方程組： 其解為其解為 a0=, a1=, a2=。 所以此數(shù)據(jù)組的所以此數(shù)據(jù)組的最小二乘二次擬合多項(xiàng)式為：最小二乘二次擬合多項(xiàng)式為：Date 阜師院數(shù)科院167。2一般最小二乘擬合 上節(jié)介紹了上節(jié)介紹了 多項(xiàng)式擬合多項(xiàng)式擬合 問(wèn)題及其問(wèn)題及其解法。在實(shí)際應(yīng)用中，針對(duì)所討論問(wèn)解法。在實(shí)際應(yīng)用中，針對(duì)所討論問(wèn)題的特點(diǎn)，題的特點(diǎn)， 擬合函數(shù)可能為其他類型擬合函數(shù)可能為其他類型的函數(shù)，如指數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)，有的函數(shù)，如指數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)，有理函數(shù)等，理函數(shù)等， 待定參數(shù)也可能會(huì)出現(xiàn)在待定參數(shù)也可能會(huì)出現(xiàn)在指數(shù)上，分母中等，指數(shù)上，分母中等， 對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)，由對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)，由于它們的精度不一樣，還會(huì)引入權(quán)系于它們的精度不一樣，還會(huì)引入權(quán)系數(shù)，數(shù)， 這都屬于一般最小二乘擬合問(wèn)題這都屬于一般最小二乘擬合問(wèn)題 。 Date 阜師院數(shù)科院線性最小二乘法的一般形式 作兩個(gè)推廣：作兩個(gè)推廣： 1.函數(shù)系由函數(shù)系由 {xm}?{?m(x)}線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān)2.加權(quán)系數(shù)加權(quán)系數(shù) ?i (i =1,2,…, n)即對(duì)即對(duì) (xi,yi)(i =1,2,…, n
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