平方逼近離散ppt課件-資料下載頁
2025-04-29 01:17本頁面
【正文】 假設(shè)歸納假設(shè) ：對(duì)：對(duì)待證待證 ：：Date 阜師院數(shù)科院定理 （續(xù) 2） —— 歸納證明（緊接下屏）（緊接下屏）Date 阜師院數(shù)科院定理 （續(xù) 2）對(duì)對(duì) j=1,2,…, m3， 有有 由歸納法原理，對(duì)一切自然數(shù)，多項(xiàng)式系由歸納法原理，對(duì)一切自然數(shù)，多項(xiàng)式系 {?0, ?1,…, ?m}滿足正交條件，因此是點(diǎn)集滿足正交條件，因此是點(diǎn)集 {xi}上關(guān)于上關(guān)于 ?i的正交多項(xiàng)式系的正交多項(xiàng)式系。 因此對(duì)因此對(duì) k =m成立。成立。證畢！證畢！Date 阜師院數(shù)科院構(gòu)造離散多項(xiàng)式舉例例例 6 試構(gòu)造點(diǎn)集試構(gòu)造點(diǎn)集 {0,1,2,3,4,5}上的離散正交多項(xiàng)式系上的離散正交多項(xiàng)式系{?0(x), ?1(x), ?2(x), ?3(x)}解解 ：： 若沒有給出若沒有給出 ?i， 一般認(rèn)為一般認(rèn)為 ?i=1， 由三項(xiàng)遞推式（由三項(xiàng)遞推式（ 66）），（，（ 67）進(jìn)行構(gòu)造，計(jì)算中，在求出每個(gè)）進(jìn)行構(gòu)造，計(jì)算中，在求出每個(gè) ?k(x)的同時(shí)，的同時(shí)，將其在所給節(jié)點(diǎn)上的值求出列入表將其在所給節(jié)點(diǎn)上的值求出列入表 61中，以便求下一個(gè)中，以便求下一個(gè)?k+1(x)時(shí)使用。時(shí)使用。 x 0 1 2 3 4 5 1 1 1 1 1 1 10/3 2/3 8/3 8/3 2/3 10/3表表 61Date 阜師院數(shù)科院用離散正交多項(xiàng)式作曲線擬合 設(shè)設(shè) (xi,yi)(i =1,2,…, n)為給定數(shù)據(jù)。為給定數(shù)據(jù)。 ?i為對(duì)應(yīng)的權(quán)系數(shù)為對(duì)應(yīng)的權(quán)系數(shù)(i=1,2,…, n)， 若未給出若未給出 ?i， 則認(rèn)為則認(rèn)為 ?i=1， {?0(x), ?1(x),…, ?m(x)}為點(diǎn)集為點(diǎn)集 xi上的離散正交多項(xiàng)式系，上的離散正交多項(xiàng)式系， Φ為由其所有線為由其所有線性組合生成的多項(xiàng)式集合性組合生成的多項(xiàng)式集合 : Φ=Span{?0(x), ?1(x),…, ?m(x)}使其滿足式（使其滿足式（ 62），利用多項(xiàng)式），利用多項(xiàng)式 {?0(x), ?1(x),…, ?m(x)}的離散正交性易知，此時(shí)正規(guī)方程組（的離散正交性易知，此時(shí)正規(guī)方程組（ 65）的系）的系數(shù)矩陣為對(duì)角陣：數(shù)矩陣為對(duì)角陣： 用離散正交多項(xiàng)式進(jìn)行最小二乘曲線擬合用離散正交多項(xiàng)式進(jìn)行最小二乘曲線擬合 ,亦即求亦即求 ：：（緊接下屏）（緊接下屏）Date 阜師院數(shù)科院用離散正交多項(xiàng)式作曲線擬合（續(xù)）可見，不用解線性方程組，可見，不用解線性方程組，可減少含入誤差，避免病態(tài)可減少含入誤差，避免病態(tài)情況出現(xiàn)，直接計(jì)算可得情況出現(xiàn)，直接計(jì)算可得 :這樣可總結(jié)利用離散正交多項(xiàng)式求給定這樣可總結(jié)利用離散正交多項(xiàng)式求給定 (xi,yi)(i=1,2,…, n)帶權(quán)帶權(quán) ?i (i=1,2,…, n)的的 擬合多項(xiàng)式的步驟擬合多項(xiàng)式的步驟（逐步構(gòu)造（逐步構(gòu)造 ?k(x)法）：法）：（緊接下屏）（緊接下屏）Date 阜師院數(shù)科院求給定 (xi,yi)帶權(quán) ?i 的擬合多項(xiàng)式的步驟 1.按三項(xiàng)遞推式按三項(xiàng)遞推式 （（ 66）（）（ 67）） 構(gòu)造離散正交多構(gòu)造離散正交多項(xiàng)式系項(xiàng)式系 {?0(x),?1(x),…, ?m(x)}；；2.按按 （（ 68）） 計(jì)算內(nèi)積并由此得正規(guī)方程的解；計(jì)算內(nèi)積并由此得正規(guī)方程的解；3.按按 （（ 69）） 寫出擬合多項(xiàng)式寫出擬合多項(xiàng)式 ?(x)。Date 阜師院數(shù)科院擬合多項(xiàng)式舉例利用離散正交多項(xiàng)式求例利用離散正交多項(xiàng)式求例 2所給數(shù)據(jù)表的二次擬合所給數(shù)據(jù)表的二次擬合多項(xiàng)式多項(xiàng)式 例例 7解：解： 按三項(xiàng)遞推式及按三項(xiàng)遞推式及 αk ,?k的計(jì)算公式可得：的計(jì)算公式可得： 而由系數(shù)而由系數(shù) ak的計(jì)算公式有的計(jì)算公式有 ：：i 1 2 3 4 5 6 7 8 9xi 1 0 1yi Date 阜師院數(shù)科院擬合多項(xiàng)式舉例（續(xù)）這與例這與例 2的計(jì)算法結(jié)果的計(jì)算法結(jié)果 相同相同 ，但不必要解正規(guī)方程組，但不必要解正規(guī)方程組，而只需要計(jì)算內(nèi)積，而只需要計(jì)算內(nèi)積， 避免出現(xiàn)病態(tài)方程組的可能避免出現(xiàn)病態(tài)方程組的可能 。并且當(dāng)。并且當(dāng)逼近次數(shù)增加一次時(shí)，只需在原有的多項(xiàng)式中增加逼近次數(shù)增加一次時(shí)，只需在原有的多項(xiàng)式中增加一項(xiàng)，即在上例還可求三次、四次擬合多項(xiàng)式。一項(xiàng)，即在上例還可求三次、四次擬合多項(xiàng)式。由此可得最小二乘二次擬合多項(xiàng)式為：由此可得最小二乘二次擬合多項(xiàng)式為：Date 阜師院數(shù)科院第六章結(jié) 束Date 阜師院數(shù)科院上機(jī)練習(xí)題：不同擬合模型的比較已知觀測數(shù)據(jù)如下表所示，按下述方案求最小二乘擬合函數(shù)，并求出 偏差平方和 Q， 比較擬合曲線的優(yōu)劣。 方案 I擬合函數(shù)取為如下形式的三次多項(xiàng)式： 方案 II用離散正交多項(xiàng)式求三次擬合多項(xiàng)式 方案 III用離散正交多項(xiàng)式求四次擬合多項(xiàng)式 方案 IV擬合函數(shù)取為如下形式的函數(shù)： Date 阜師院數(shù)科院x 0 y 0 ? ? ? ? ? ? x y x y ? ? 觀測數(shù)據(jù)表觀測數(shù)據(jù)表Date 阜師院數(shù)科院
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