計算方法-最佳平方逼近-最小二乘法(參考版)
2024-08-16 16:35本頁面
【正文】 x=5, y= 0 . 5 7 1 4 2 8 5 90 . 2 8 5 80 . 4 2 8 50 . 1 4 2 80 . 1 4 2 90 . 4 2 8 60 . 2 8 5 73)( 3 . 2 8 5 82)( 1 . 5 7 1 51)( 0 . 8 5 7 21)( 1 . 1 4 2 92)( 2 . 4 2 8 65)( 4 . 7 1 4 3||e||22222222222222??????????????????? 830 . 7 5 5 9 2 8 9 5||e|| 2 ?例 已知實測數(shù)據(jù)表 試用最小二乘法求多項式曲線不此數(shù)據(jù)組擬合 . i 1 2 3 4 5 xi 2 4 6 8 10 yi 6 12 18 24 30 解：令 xaay10 ???????????????????????51iii51i2i151ii051ii51ii10yx xaxayxa 5a，則正觃方程組為： 同學(xué)們自己計算，求出a0 ,a1 ???????662 2 a3a186a a10103a0a 10 ?? ，3xy ?0)]f ( x)(x[||e||n0i2ii22 ??? ???經(jīng)過計算，得到： 解之，得： 所求直線方程為 : 誤差 : （ 4）可化為線性擬合的非線性擬合 ? 有些非線性擬合曲線可以通過適當?shù)淖兞刻鎿Q轉(zhuǎn)化為線性曲線，從而用線性擬合進行處理， ? 這部分本課程丌做要求 連續(xù)函數(shù)最佳平方逼近和對數(shù)據(jù)的曲線擬合的區(qū)別 1. 連續(xù)函數(shù) f(x)?C[a, b]最佳平方逼近 ? 在 [a, b]上，用 Span{ φ 1(x), φ 2(x), …, φ n(x) }中的函數(shù) φ(x)（通常是多項式）逼近連續(xù)函數(shù) f(x)。 x=3, y=。 x=1, y=。 x=3, y= x=4, y=。 x y 0 1 2 3 4 5 1 3 2 4 5 ???????????????????? ???? ???? ??? ???? ???? ?61ii2i61i61i4i23i161i2i061iii61i61i3i22i161ii061ii61i61i2i2i10yx xaxaxayx xaxaxayxaxa 6a計算得 ： ?????????????????????61ii2i61iii61ii61i4i61i3i61i2i61ii122yx,30yx14,y797,x225,x55,x15,x因此設(shè)所求的多項式為 2210 xaxaay ???得： 其正觃方程組為 ??????????????122979a225a55a30225a55a15a1455a15a6a210210210解之得 : 0 . 5 0 0 0a2 . 7 8 5 7 ,a4 . 7 1 4 3 ,a 210 ????20 . 5 0 0 0 x2 . 7 8 5 7 x4 . 7 1 4 3y ???所求多項式為 : x y 0 1 2 3 4 5 1 3 2 4 5 20 . 5 0 0 0 x2 . 7 8 5 7 x4 . 7 1 4 3y ???x=0, y=。 ja() 將上式針對 k不 j展開，得 m個數(shù)據(jù)之和 計算“和” 例 設(shè)某實驗數(shù)據(jù)如下： 用最小二乘法求一個多項式擬合這組數(shù)據(jù)。 令 得 n0 , 1 , . . . ,k0,aQk????? ?? ????m1ikin0jjiji n0 , 1 , . . . ,k0,)xxa(yn0 , 1 , . . . ,k,xy)xx(a kim1iikim1ijin0jj ?? ??????整理之后得 ???????????????????????????? ???? ???? ??? ????? ????? ?m1iinim1im1i2nin1ni1m1ini0m1iiim1im1i1nin2i1m1ii0m1iim1im1inini10yx xa. . .xaxayx xa. . .xaxayxa. . .xa ma這是關(guān)于系數(shù) 的線性方程組，稱為正觃方程組。 則正觃方 程組為 ??????????????41iii41i2i141ii041ii41ii10yxxaxayxa4
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