曲線擬合的最小二乘法(1)(參考版)
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【正文】 2021年 6月 14日星期一 24 ? 關(guān)于離散內(nèi)積正交的定義 ???????????????? jijixxikjkikmkji 00)()(),( 220定義： 如果定義于區(qū)間 上的函數(shù)族 關(guān)于點(diǎn)集 以及一組權(quán)值 所定義的離散內(nèi)積滿足關(guān)系 ],[ ba? ? ],[0 bax mii ?? )0( ?i?? ?nii 0??? ?mii 0??? ?nii 0?? ? ?mii 0??? ?miix 0?則稱函數(shù)族 是關(guān)于點(diǎn)集 以及權(quán)值 的正交函數(shù)族 。 0/1 cc ?cca 1?ccb 2?522 *)(),( *),*(),(???????cgAggggggTT ???最小二乘平方誤差為 1122 )(????? ii fxf關(guān)于 f的誤差 2021年 6月 14日星期一 22 擬合效果示意圖 2021年 6月 14日星期一 23 ? 用關(guān)于點(diǎn)集的正交函數(shù)系作最小二乘曲線擬合 ? 背景： 最小二乘曲線擬合問題的解函數(shù)是通過(guò)求解法方程組得到的； 選定的基函數(shù)產(chǎn)生的法方程組系數(shù)矩陣可能是病態(tài)的 , 即系數(shù)矩陣或右端項(xiàng)的微小擾動(dòng)可能導(dǎo)致解函數(shù)有很大的誤差 。 2021年 6月 14日星期一 19 ? 例題 確定公式 中的參數(shù) , 使之與如下數(shù)據(jù)擬合 。 yAAA TT ??CyAAA TT ?1)( ??CTT AAA 1)( ???A TT AAA 1)( ? yA ???C在矩陣論中稱 是列滿秩矩陣 A的廣義逆 , 記為 。 ),(s p a n 10 n????? ?? ?mjjj yx 0),( ?yA ??C yWAWAA TT ??C最小二乘 2021年 6月 14日星期一 18 （矛盾方程與廣義逆續(xù)） ?當(dāng)取權(quán)矩陣 W為單位矩陣時(shí) , 法方程組簡(jiǎn)化為 。 由于插值條件的個(gè)數(shù) m＋ 1遠(yuǎn)大于待定參數(shù)的個(gè)數(shù)沒 n＋ 1, 故一般說(shuō)來(lái)該線性方程組是一個(gè) 矛盾方程組 , 無(wú)解 。()(*m i n ?????rrniRccccxx in???????? 使得＝求 ?2021年 6月 14日星期一 6 最小二乘法擬合模型的求解 ? 問題的矩陣形式表述 ? 法方程組 ? 平方誤差 ? 法方程組系數(shù)矩陣（ Gram矩陣）的表示 ? 矛盾方程以及加號(hào)逆 ? 舉例 ? 基于離散正交多項(xiàng)式的最小二乘擬合 2021年 6月 14日星期一 7 ? ?), . . . ,()()(*)(),)()(*1000200022222100*m i nm i nm i nm i nnniRcmjnijjiijniRcmjjjnniiicccIyxcrrrs p a nxcxii???? ????????????????????????? ???????????????使得＝求 ?? 最小二乘問題的矩陣形式表述 ?????? ??? ?????ni
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