1675曲線擬合的最小二乘法(已修改)
2024-10-28 14:35 本頁(yè)面
【正文】 1 167。 5 曲線擬合的最小二乘法 一般的最小二乘逼近 (曲線擬合的最小二乘 法 )的一般提法是 : 對(duì)給定的一組數(shù)據(jù) ,要求在函數(shù)類 中找 一個(gè)函數(shù) ,使誤差平方和 其中 帶權(quán)的最小二乘法： 其中 是［ a, b］上的權(quán)函數(shù)。 ( , )iixy( 0 , 1 , , )im? 01{ , , , }n? ? ? ??* ()y S x?2 2 * 2 22 ()0 0 1[ ( ) ] m in [ ( ) ]m m mi i i i iSxi i iS x y S x y????? ? ?? ? ? ? ?? ? ?0 0 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )nnS x a x a x a x n m? ? ?? ? ? ? ?2 220( ) [ ( ) ( ) ]mi i iix S x f x??????( ) 0x? ?2 用 最小二乘法求曲線擬合的問(wèn)題 ， 就是在 中求一函數(shù) ， 使 取的最小 。 它轉(zhuǎn)化為求多元函數(shù) 的極小點(diǎn) 問(wèn)題 。 由求多元函數(shù)極值的必要條件 ， 有 ()Sx* ()y S x? 22?20100( , , , ) ( ) [ ( ) ( ) ]mnn i j j i iijI a a a x a x f x????????* * *01( , , , )na a a002 ( ) [ ( ) ( ) ] ( ) 0 ( 0 , 1 , , )mni j j i i k iijkIx a x f x xakn? ? ????? ? ?????3 若記 則上式可改寫為 這個(gè)方程稱為法方程，矩陣形式 其中 00 ( , ) ( ) ( ) ( )( , ) ( ) ( ) ( ) ( 0 , 1 , , )mj k i j i k iimk i i k i kix x xf x f x x d k n? ? ? ? ?? ? ????? ? ???0( , ) ( 0 , 1 , , )nk j j kja d k n??????.G a d?0 1 0 1( , , , ) , ( , , , )TTnna a a a d d d d??0 0 0 1 01 0 1 1 101( , ) ( , ) ( , )( , ) ( , ) ( , )( , ) ( , ) ( , )nnn n n nG? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??????????4 由于 線性無(wú)關(guān)，故 ，方 程組存在唯一解 (Haar條件 ) 從而得到函數(shù) 的最小二乘解為 可證 故 是所求最小二乘解。 01, , , n? ? ? 0G ?* ( 0 , 1 , , ) ,kka a k n??()fx* * * *0 0 1 1( ) ( ) ( ) ( )nnS x a x a x a x? ? ?? ? ? ?* 2 200( ) [ ( ) ( ) ] ( ) [ ( ) ( ) ]mmi i i i i iiix S x f x x S x f x????? ? ???*()Sx5 例 :已知一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù) ,求它的擬合曲線 。 解：根據(jù)所給數(shù)據(jù)知 ， 可選擇線性函數(shù)作擬合曲 線 。 令 這里 故 1 2 3 4 5 4 6 8 2 1 3 1 1 ixifi?1 0 1()S x a a x??014 , 1 , ( ) 1 , ( ) ,m n x x x??? ? ? ?440 0 0 1 1 000( , ) 8 , ( , ) ( , ) 2 2 ,i i iiix? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ???6 由方程組 所求擬合曲線為 01 001 18 2 2 4 7 2 . 7 72 2 7 4 1 4 5 . 5 1 . 1 3aa aaa a?? ?? ?????? ???410( , ) 145 .5i i iif x f??????4421 1 000( , ) 7 4 , ( , ) 4 7 ,i i i iiix f f? ? ? ? ???? ? ? ???*1 ( ) 2 . 7 7 1 . 1 3S x x??7 例： 在某化學(xué)反應(yīng)里 ， 根據(jù)實(shí)驗(yàn)所得生成物的濃 度與時(shí)間關(guān)系如下表 ， 求濃度 y與時(shí)間 t的擬合曲 線 解：將數(shù)據(jù)標(biāo)在坐標(biāo)紙上，可發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)符合雙曲 線函數(shù)或指數(shù)函數(shù)。 1)雙曲線函數(shù)擬合 雙曲線型： 即 ( ).y F t?時(shí)間t(分 ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 濃度 103 4. 00 6. 40 8. 00 8. 80 9. 22 9. 50 9. 70 9. 86 10. 00 10. 20 10. 32 10. 42 10. 50 10. 55 10. 58 10. 60 1 ,bayt??.()ty a t b? ?8 為了確定 令 由數(shù)據(jù)表 t, y生成數(shù)據(jù)表 于是可用 的 線性函數(shù) 擬合數(shù)據(jù) 。 方法與上例一樣解方程組 得 從而有 其各點(diǎn)誤差為 ,ab 11,yxyt??,.xy x1 ()S x y a b x? ? ? ( , )i ixy( 1 , , 16 )i ?331 6 3 . 3 8 0 7 3 1 . 8 3 7 2 1 0 。3 . 3 8 0 7 3 1 . 5 8 4 3 5 0 . 5 2 8 8 6 1 0 ,aba
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