偏最小二乘法回歸建模案例(已修改)
2025-04-28 22:10 本頁面
【正文】 《人工智能》課程論文論文題目： 偏最小二乘算法（PLS）回歸建模 學生姓名： 張帥帥 學 號： 172341392 專 業(yè)： 機械制造及其自動化 所在學院： 機械工程學院 年 月 日人工智能 偏最小二乘法（PLS） 1 目錄偏最小二乘回歸 ............................................1摘要 ......................................................1167。1 偏最小二乘回歸原理 ....................................1167。2 一種更簡潔的計算方法 ..................................5167。3 案例分析 ..............................................6致謝 .....................................................15附件： ...................................................16人工智能 偏最小二乘法（PLS） 2 偏最小二乘回歸摘要在實際問題中，經(jīng)常遇到需要研究兩組多重相關變量間的相互依賴關系，并研究用一組變量（常稱為自變量或預測變量）去預測另一組變量（常稱為因變量或響應變量） ，除了最小二乘準則下的經(jīng)典多元線性回歸分析（MLR） ，提取自變量組主成分的主成分回歸分析（PCR）等方法外，還有近年發(fā)展起來的偏最小二乘（PLS）回歸方法。 偏最小二乘回歸提供一種多對多線性回歸建模的方法，特別當兩組變量的個數(shù)很多，且都存在多重相關性，而觀測數(shù)據(jù)的數(shù)量（樣本量）又較少時，用偏最小二乘回歸建立的模型具有傳統(tǒng)的經(jīng)典回歸分析等方法所沒有的優(yōu)點。 偏最小二乘回歸分析在建模過程中集中了主成分分析，典型相關分析和線性回歸分析方法的特點，因此在分析結果中，除了可以提供一個更為合理的回歸模型外，還可以同時完成一些類似于主成分分析和典型相關分析的研究內(nèi)容，提供更豐富、深入的一些信息。 本文介紹偏最小二乘回歸分析的建模方法；通過例子從預測角度對所建立的回歸模型進行比較。關鍵詞：主元分析、主元回歸、回歸建模1 偏最小二乘回歸原理 考慮 p 個變量 與 m 個自變量 的建模問題。偏最小二乘py,.21 mx,.21回歸的基本作法是首先在自變量集中提出第一成分 t?（t?是 mx,.21的線性組合，且盡可能多地提取原自變量集中的變異信息） ；同時在因變量集中也提取第一成分 u?，并要求 t?與 u?相關程度達到最大。然后建立因變量與 t?的回歸，如果回歸方程已達到滿意的精度，則算法中止。否則py,.21繼續(xù)第二對成分的提取，直到能達到滿意的精度為止。若最終對自變量集提取r 個成分 ,偏最小二乘回歸將通過建立 與 py,.21rt,.21式，然后再表示為 與原自變量的回歸方程式，程式。為了方便起見，不妨假定 p 個因變量 與 m 個自變量 均為py,.21 mx,.21人工智能 偏最小二乘法（PLS） 3 標準化變量。因變量組和自變量組的 n 次標準化觀測數(shù)據(jù)陣分別記為: ??????????????nmnnpnp xyFE.:.,.:.11101110偏最小二乘回歸分析建模的具體步驟如下：（1）分別提取兩變量組的第一對成分，并使之相關性達最大。（2）假設從兩組變量分別提出第一對 t?和 u?,t?是自變量集 ,的??TmX,.1?線性組合： ,u?是因變量集 的線性組XwxtTm1111.??? pyY合： 。為了回歸分析的需要，要求： Yvyvup① t1 和 u1 各自盡可能多地提取所在變量組的變異信息；② t1 和 u1 的相關程度達到最大。 由兩組變量集的標準化觀測數(shù)據(jù)陣 和 ,可以計算第一對成分的得分向量，0EF記為 和 :1?tu ??????????????? 11111101 :.:nmnntwxt ????????? 11101 :.:npnnpuvyvFu第一對成分 和 的協(xié)方差 可用第一對成分的得分向量 和 的內(nèi)積1t),(tCo1?t來計算。故而以上兩個要求可化為數(shù)學上的條件極值問題： ??????????1, max,21211 00vwFEYutTT T利用 Lagrange 乘數(shù)法，問題化為求單位向量 和 ,使 最大。101VwT?問題的求解只須通過計算 矩陣 的特征值和特征向量，且m?00MTM 的最大特征值為 ,相應的單位特征向量就是所求的解 ，而 可由 計算21?1v1得到 。01wEFvT?人工智能 偏最小二乘法（PLS） 4 （3）建立 ,對 的回歸及 ,對 的回歸。py.,假定回歸模型為： ???????110FuEtT??其中 分別是多對一的回歸模型中的參數(shù)向量，????pTm111 ,.,.???和 是殘差陣?；貧w系數(shù)向量 的最小二乘估計為:EF1??????2101/tFET?稱 為模型效應負荷量。1,??（4）用殘差陣 和 代替 和 重復以上步驟。1E0記 則殘差陣 。如果殘差,1010TTtFt????0101,????FE陣 中元素的絕對值近似為 0，則認為用第一個成分建立的回歸式精度已滿足需要了，可以停止抽取成分。否則用殘差陣 和 代替 和 重復以上步驟10即得： 分別為第二對成分的權數(shù)。而????TmTmvw21221,.。,.??為第二對成分的得分向量。11FuEt??分別為 X,Y 的第二對成分的負荷量。這時有22212 /,/?ttTT?????????2210FtFEET??(5)設 nm 數(shù)據(jù)陣 的秩為 r=min(n1,m),則存在 r 個成分 ，使rt,.21得:人工智能 偏最小二乘法（PLS） 5 ????????rTrTFttFEE??.10把 代入 ，即得 p 個因變),2(.1kxwtmk?? ,.1rt
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