曲線擬合與回歸分析(已修改)
2025-05-28 19:21 本頁面
【正文】 MATLAB 程式設(shè)計(jì)進(jìn)階篇 曲線擬合與迴歸分析 張智星 (Roger Jang) 清大資工系 多媒體檢索實(shí)驗(yàn)室 資料擬和簡(jiǎn)介 ? 資料擬合（ Data Fitting） ? 給定一組資料（含輸入及輸出），建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型，來逼近此資料的輸入輸出特性 ? 如果此資料包含一維輸入及輸出，則此數(shù)學(xué)模型可以表示成一條曲線，在此情況下又稱為曲線擬合（ Curve Fitting） ? 迴歸分析（ Regression Analysis） ? 使用統(tǒng)計(jì)的方法來進(jìn)行資料擬和，並分析每一個(gè)變數(shù)的統(tǒng)計(jì)特性，此過程稱為迴歸分析 曲線擬合簡(jiǎn)介 ? 曲線擬合（ Curve Fitting） ? 欲建立的數(shù)學(xué)模型是「單輸入、單輸出」（ Singleinput Singleoutput，簡(jiǎn)稱 SISO），其特性可用一條曲線來表示 ? 迴歸分析之分類 ? 若模型是線性模型，則此類問題稱為線性迴歸（ Linear Regression） ? 若模型是非線性模型，則稱為非線性迴歸（ Nonlinear Regression）。 ? 觀察資料是美國(guó)自 1790 至 1990 年（以 10 年為一單位）的總?cè)丝?，此資料可由載入檔案 得到： ? 範(fàn)例 101： 曲線擬合：美國(guó)人口範(fàn)例 load % 載入人口資料 plot(cdate, pop, 39。o39。)。 % cdate 代表年度， pop 代表人口總數(shù) xlabel(39。年度 39。)。 ylabel(39。美國(guó)人口總數(shù) 39。)。 1750 1800 1850 1900 1950 2021050100150200250年度美國(guó)人口總數(shù)? 模型選取 ? 由上 圖資料分佈，可猜測(cè)這適合的曲線可能是二次拋物線 ? 其中 y為輸出， x為輸入， 則為此模型的參數(shù)。由於參數(shù)相對(duì)於 y呈線性關(guān)係，所以此模型為稱線性模型 ? 目標(biāo) ? 找出最好的參數(shù)值，使得模型輸出與實(shí)際資料越接近越好，此過程即稱為線性迴歸 曲線擬合之模型選取 2210210 ),。( xaxaaaaaxfy ???? 21,0 , aaa? 曲線擬和的平方誤差 ? 假設(shè)觀察資料可寫成 ,i= 1~21。當(dāng)輸入為 時(shí)，實(shí)際輸出為 。 ? 模型的預(yù)測(cè)值為 ? 平方誤差： ? 總平方誤差 是參數(shù) 的函數(shù)，這也是我們要最小化的目標(biāo)函數(shù)，可表示如下： 曲線擬合之目標(biāo)函數(shù) ),( ii yx ixiyiy2210210 ),。( iii xaxaaaaaxf ???? ?2)( ii xfy ?? ? ? ?? ??????????? 211222102112210 )(),(iiiiiii xaxaayxfyaaaE21,0 , aaaE? 求得參數(shù) 、 、 的最佳值 ? 求出 對(duì) 、 、 的導(dǎo)式，令其為零，即可解出 、 、 的最佳值。 ? 總平方誤差 為 的二次式 ? 導(dǎo)式 、 及 為 的一次式 ? 令上述導(dǎo)式為零之後，我們可以得到一組三元一次線性聯(lián)立方程式，就可以解出參數(shù) 、 、 的最佳值。 目標(biāo)函數(shù)之求解 0a 1a 2a0aE??1aE??2aE??E 0a 1a 2aE0a 1a 2a0a 1a 2a21,0 , aaa21,0 , aaa? 假設(shè) 21 個(gè)觀察點(diǎn)均通過此拋物線，將這 21 個(gè)點(diǎn)帶入拋物線方程式，得到下列 21個(gè)等式： ? 亦可寫成 ? 其中 、 為已知， 為未知向量 。 矩陣表示法 212212211022222101212110yxaxaayxaxaayxaxaa????????????????? ??? ???yAyyyxxxxxx?????????????????????????????????????212132122121222211111????A y ?? 觀察 ? 上述 21個(gè)方程式，只有 3 個(gè)未知數(shù) ，所以通常不存在一組解來滿足這 21 個(gè)方程式。 ? 在一般情況下，只能找到一組 ，使得等號(hào)兩邊的差異為最小，此差異可寫成 此即為前述的總平方誤差 ? MATLAB 提供一個(gè)簡(jiǎn)單方便的「左除」（ \）指令，來解出最佳的 ，使得總平方誤差為最小。 MATLAB的最小平方解 ? ?T321 , ???? ?)()(2 ??? AyAyAy T ?????E?? 利用「左除」來算出最佳的參數(shù)值，並同時(shí)畫出具有最小平方誤差的二次曲線 ? 範(fàn)例 102： 曲線擬合運(yùn)算範(fàn)例 load % 載入人口資料 plot(cdate, pop, 39。o39。)。 % cdate 代表年度 ， pop 代表人口總數(shù) A = [ones(size(cdate)), cdate, cdate.^2]。 y = pop。 theta = A\y。 % 利用「左除」，找出最佳的 theta 值 plot(cdate, pop, 39。o39。, cdate, A*theta, 39。39。)。 legend(39。實(shí)際人口數(shù) 39。, 39。預(yù)測(cè)人口數(shù) 39。)。 xlabel(39。年度 39。)。 ylabel(39。美國(guó)人口總數(shù) 39。)。 曲線擬合結(jié)果 ? 由上述範(fàn)例，我們可以找出最佳的 ? 因此具有最小平方誤差的拋物線可以寫成： ? ? ? ?0 0 6 5 ,2 1 1 3 0, 210 ??? aaa?22210 )( xxxaxaaxfy ???????1750 1800 1850 1900 1950 2021050100150200250年度美國(guó)人口總數(shù) 實(shí)際人口數(shù)預(yù)測(cè)人口數(shù)提示：左除及右除 ? 左除的概念，可記憶如下：原先的方程式是 A*theta = y，我們可將 A移項(xiàng)至等號(hào)右邊，而得到 theta = A\y。必須小心的是
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