1675曲線擬合的最小二乘法-文庫吧
2024-09-22 14:35 本頁面
【正文】 b? ? ? ?? ? ? ??8 0 .6 6 2 1 , 1 6 1 .6 8 2 2 .ab??( 1 ) ( ) ,( 8 0 . 6 6 2 1 1 6 1 . 6 8 2 2 )ty F tt?? ?( 1 ) ( 1 ) ( ) ( 1 , , 16 ) .i i iy F t i? ? ? ?1 ,bayt??9 2） 指數(shù)函數(shù)擬合 擬合曲線形如 兩邊取對數(shù) 為了確定 令 擬合數(shù)據(jù)的曲線仍為 用上例的方法計算出 從而 最后求得 各點誤差為 .b ty ae? l n l n .bya t??,ab 1? l n , l n , ,y y A a x t? ? ??( , ) ( , )i i i it y x y由 計算出 ，1 ?( ) .S x y A b x? ? ?4 .4 8 0 7 2 , 1 .0 5 6 7 ,Ab? ? ? ?31 1 . 3 2 5 3 1 0 ,Aae ?? ? ?3 1 . 0 5 6 7 / ( 2 )1 1 . 3 2 5 3 1 0 ( )ty e F t??? ? ?( 2 ) ( 2 ) ( ) ( 1 , , 1 6 ) .i i iy F t i? ? ? ?10 3)兩個模型的比較 本例經計算可得 均方誤差為 由此可知 都比較小 ， 所以用 作擬合曲線較好 。 確定擬合曲線的數(shù)學模型需要選擇比較。 ( 1 ) 3 ( 2 ) 3m a x 0 . 5 6 8 1 0 , m a x 0 . 2 7 7 1 0 ,iiii????? ? ? ?( 1 ) 2 3 ( 2 ) 2 311( ) 1 . 1 9 1 0 , ( ) 0 . 3 4 1 0 .mmiiii?? ????? ? ? ???( 2 ) ( 2 )2?? ?及( 2 ) ()y F t?11 用正交函數(shù)作最小二乘擬合 法方程組系數(shù)矩陣 G是病態(tài)的，但如果 是關于點集 帶權 正交的函數(shù)族，即 則方程的解為 且平方誤差為 01( ) , ( ) , , ( )nx x x? ? ? { } ( 0 , 1 , , )ix i m?( ) ( 0 , 1 , , )ix i m? ?00 , 。( , ) ( ) ( ) ( )0 , .mj k i j i k ii kjkx x xA j k? ? ? ? ?????? ?????* 020( ) ( ) ( )( , ) ( 0 , 1 , , )( , )( ) ( )mi i k ikik mkki k iix f x xfa k nxx?????????? ? ???22 *2220( ) .nkkkf A a???? ?12 根據(jù)給定節(jié)點 及權函數(shù) ， 造出帶權 正交的多項式 。 注 意 ， 用遞推公式表示 ， 即 其中 Pk(x)是首項系數(shù)為 1的 k次多項式 ， 且 01, , , mx x x( ) 0x? ?()x? { ( )}nPxnm? ()kPx01 1 01 1 1( ) 1 ,( ) ( ) ( ) , ( 0 , 1 , , 1 )( ) ( ) ( ) ( )k k k k kPxP x x P x k nP x x P x P x???? ? ????? ? ? ??? ? ? ??13 證明：用歸納法（略）。 201202021110( ) ( )( ( ) , ( ) ) ( , )( ( ) , ( ) ) ( , )( ) ( )( ) ( )( , )( , )( ) ( )。mi i k ii k k k kk mk k k ki k iimi k ii k kk mkki k iix x P xx P x P x x P PaP x P x P Px P xx P xPPPPx P x???????????????? ? ? ?????????????????14 用正交多項式 的線性組合作最小二 乘曲線擬合，只要根據(jù)公式逐步求 的同時， 相應計算出系數(shù) 并逐步把 累加到 中去 ， 最后就可得 到所求的擬合曲線 這里 n可事先給定或在計算過程中根據(jù)誤差確定。 { ( )}kPx()kPx* 020( ) ( ) ( )( , )( , )( ) ( )mi i k ikik mkki k iix f x P xfPaPPx P x????????* ()kka P x ()Fx* * *0 0 1 1( ) ( ) ( ) ( ) .nny F x a P x a P x a P x? ? ? ? ?15 用這種方法編程序不用解方程組，只用遞 推公式；當逼近次數(shù)增加一次時，只要把程序 中循環(huán)數(shù)增加 1，其余不用改變。此為目前用 多 項式作曲線擬合最好的方法 。 ? 多元最小二乘擬合 已知多元函數(shù) 的一組測量數(shù)據(jù) ， 以及一組權數(shù) 要求函數(shù) 12( , , , )ly f x x x?12( , , , , ) ( 1 , 2 , , )i i l i ix x x y i m?0 ( 1 , 2 , , ) .i im? ??1 2 1 21( , , , ) ( , , , ) . 1nn l k k lkS x x x a x x x n m??? ? ??16 使得
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