曲線擬合與回歸分析-文庫吧
2025-04-22 19:21 本頁面
【正文】 ：原先 A 在乘式的第一項，所以移到等號右邊後， A 仍然必須是除式的第一項。 ? 若我們要解的方程式是 theta*A = y，則同樣的概念可得到最小平方解 theta = y/A。 ? 根據(jù)上拋物線數(shù)學(xué)模型，我們可以預(yù)測美國在 2021 年的人口總數(shù)為： ? 範(fàn)例 103： 以模型預(yù)測人口總數(shù) load % 載入人口資料 A = [ones(size(cdate)), cdate, cdate.^2]。 theta = A\pop。 % 利用「左除」 ， 找出最佳的 theta 值 t=2021。 pop2021 = [1, t, t^2]*theta。 % 在 2021 年美國人口線數(shù)預(yù)測值 t=2021。 pop2021 = [1, t, t^2]*theta。 % 在 2021 年美國人口線數(shù)預(yù)測值 fprintf(39。美國人口在 2021年的預(yù)測值 = %g （ 百萬人 ） \n39。, pop2021)。 fprintf(39。美國人口在 2021年的預(yù)測值 = %g （ 百萬人 ） \n39。, pop2021)。 美國人口在 2021年的預(yù)測值 = （百萬人） 美國人口在 2021年的預(yù)測值 = （百萬人） ? 上述例子推廣，得到一個 n 次多項式： ? 利用多項式的數(shù)學(xué)模型來進行曲線擬合，通稱為「多項式擬合（ Polynomial Fitting）」 ? 由於多項式擬和的應(yīng)用面很廣， MATLAB 提供 ? polyfit 指令來找出多項式最佳參數(shù) ? Polyval 指令來進行多項式的求值 多項式擬和 nn xaxaaxfy ????? ?10)(? 使用 polyfit amp。 polyval 使程式碼更加簡潔 ? 範(fàn)例 104： ? polyfit(cdate, pop, 2)」中的 2 代表用到的模型是 2 次多項式 load % 載入人口資料 theta = polyfit(cdate, pop, 2)。 % 進行二次多項式擬合，找出 theta 值 fprintf(39。2021年的預(yù)測值 = %g （ 百萬人 ） \n39。, polyval(theta, 2021))。 fprintf(39。2021年的預(yù)測值 = %g （ 百萬人 ） \n39。, polyval(theta, 2021))。 在 2021年的預(yù)測值 = （百萬人） 在 2021年的預(yù)測值 = （百萬人） 使用 polyfit amp。 polyval的範(fàn)例 ? MATLAB 下輸入「 census」，可對 census 資料進行曲線擬合的結(jié)果，如下： ? 上述圖形可以看出，當(dāng)多項式的次數(shù)越來越高時，「外插」常會出現(xiàn)不可信的結(jié)果。 ? 這表示選用的模型參數(shù)太高，雖然誤差的平方和變小了，但是預(yù)測的可靠度也下降了。 模型複雜度對預(yù)測的影響 ? 線性迴歸的成功與否，與所選取的模型息息相關(guān) ? 模型所含的參數(shù)越多，平方誤差會越小 ? 若參數(shù)個數(shù)等於資料點個數(shù)，平方誤差會等於零，但這並不表示預(yù)測會最準(zhǔn)，因為資料點含有雜訊 ? 完全吻合資料的模型亦代表此模型受雜訊的影響最大，預(yù)測之準(zhǔn)確度也會較差 ? 如何選取模型，是線性迴歸的一個重大課題！ ? Leaveoneout method 線性迴歸的模型選取 ? 「多輸入、單輸出」的線性迴歸數(shù)學(xué)模型寫成 ? 其中 為輸入， y 為輸出， 、 、 … 、 為此模型的參數(shù)， ， 則是已知的函數(shù)，稱為基底函數(shù)（ Basis Functions） ? 所給的資料點為 ，稱為取樣資料（ Sample Data）或訓(xùn)練資料（ Training Data）。 多輸入之線性迴歸 1a 2a nanifi ?1),( ?xmiy ii ?1),( ?x)()()()( 2211 xxxx nn fafafafy ????? ?x?y? 將上述資料點帶入模型後可得： ? 或可表示成矩陣格式： 矩陣表示法 )()()()()()()()(221122111mmmm1111xxxxxxxxnnmnnfafafafyfafafafy?????????????? ?ymnAmnmnyyaaffff????????????????????????????????????? ????? ??????? 111111)()()()(?xxxx? 由於 (即資料點個數(shù)遠大於可變參數(shù)個數(shù) )，欲使上式成立，須加上一誤差向量 e： ? 平方誤差則可寫成 ? 求 的最佳值 ? 直接取 對 的偏微分，並令其等於零，即可得到一組 n 元一次的線性聯(lián)立方程式 ? 用矩陣運算來表示， 的最佳值可表示成 ? 也可以使用 MATLAB 的「左除」來算出 的最佳值，即 。 平方誤差和的最小化 nm?yeθ ??A)()()( 2 ??? AyAyeeeE TT ??????)(?E ?? ? ? yAAA TT 1??yA \??? 理論上，最佳的 值為 ，但是 容易造成電腦內(nèi)部計算的誤差， MATLAB 實際在計算「左除」時，會依照矩陣 A 的特性而選用最佳的方法，因此可以得到較穩(wěn)定且正確的數(shù)值解。 ? 欲知如何推導(dǎo)最佳的 值，可參考筆者另一著作： Neuro– Fuzzy and Soft Computing，Prentice Hall， 1997。 提示 ? ? ? yAAA TT 1? ? ? 1?AAT?? 在 MATLAB 下輸入 peaks，可以畫出一個凹擊有致的曲面，如下： ? 此函數(shù)的方程式如下： 曲面擬合範(fàn)例（ 1/6） 222222 )1(53)1(231510)1(3yxyxyx eeyxxexz ???????? ??????? ?????? 在下列說明中，假設(shè)： ? 數(shù)學(xué)模型的基底函數(shù)已知 ? 訓(xùn)練資料包含正規(guī)分佈的雜訊 ? 上述函數(shù)可寫成： ? 其中我們假設(shè) 、 和 是未知參數(shù)， n 則是平均為零、變異為 1 的正規(guī)分佈雜訊。 曲面擬合範(fàn)例（ 2/6） nyxfyxfy
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