【文章內(nèi)容簡介】 = xxxxxxxxxxxxnn2nnn1211n0200n10. . .1. . .. . .. . .. . .. . .. . .1. . .1), . . . ,V( ?? ?????niijji xx110)( 形如 的插值多項(xiàng)式 Ln(x)稱為 拉格朗日 (Lagrange)插值多項(xiàng)式 。 0( ) ( )njjnjx y l xL?? ?設(shè)01, , ,nx x x為 1n ? 個互異的插值節(jié)點(diǎn)，( ) ( 0 , 1 , , )il x i n?為拉格朗日插值基函數(shù)，證明： （ 1 ）0( ) 1niilx??? （ 2 ）0()nkkiiil x x x??? （ 3 ） 0( ) ( ) 0nkiiix x l x???? ( 0 ,1 , , )kn ? 插值基函數(shù)性質(zhì) 證明：（ 1 ）對 ( ) 1fx ? ，在01 , , , nx x x處進(jìn)行 n 次拉格朗日插值，則有 : ( 1 )10001 ( ) ( )()( ) 1 ( )( 1 ) !( ) 1 0 ( )nnnnininniiiiL x R xfl x xnl x l x?????????? ? ??? ? ? ????( 2 ) 對 () kf x x? ， ( 0 ,1 , , )kn ? 在 01 , , , nx x x處進(jìn)行 n 次拉格朗日插值，則有 : 0()nkkiiil x x x????(3) 將 () kixx ? 按二項(xiàng)式展開得到： 0( ) ( 1 )kk k j j k jiijkx x x xj?????? ? ??????則有： 0000000( ) ( ) ( ( 1 ) ) ( )( 1 ) ( 1 ))(0(1)n n kk k j j k ji i i ii i jkkk j k j k j k jjnjjiii jkk k jjkx x l x x x l xjkkxxjjkxx l x xj??? ? ?? ? ? ????????? ? ?????? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ?????? ? ?????Newton插值 拉格朗日插值多項(xiàng)式形式對稱，計算較方便但由于p(x)依賴于全部基點(diǎn)，若算出所有 p(x)后又需要增加基點(diǎn)，則必須重新計算，為了克服這個缺點(diǎn)，我們引進(jìn)牛頓差商插值多項(xiàng)式。 為了使 Newton插值多項(xiàng)式具有承襲性 ， 令插值函數(shù)具有下列形式： 式中 稱為 Newton插值基函數(shù) 。 為求出 Nn(x),利用插值條件 ，我們先給出差商概念 。 0 0 1 11 0 0 1 1()( ) ( ) ( ) ( )n n no n nN x c c cc c x x c x x x x x x? ? ??? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ?01( ) 1 , ( ) ( ) ( ) , 11iix x x x x i ni?? ??? ? ? ? ?? ? 差商及其性質(zhì) 定義 給定一個函數(shù)表 記 ★ 一般的 , f(x)關(guān)于 xi,xi+1,… ,xi+k的 k 階差商記作 f[xi,xi+1,… ,xi+k ] )(. . .)()(. . .1010nnxfxfxfxxx時當(dāng)其中 jixx ji ?? ,? ? ., .. . ,1,0),( nixfxf ii ??的零階差商。關(guān)于稱為 ixxf )(]f [ x i的一階差商定義為關(guān)于 x iixxf ,)( 1?ii xff??????1i1i1ii x][x]f [ x]x,[xi i 1 i ki 1 i 2 i k i i 1 i k 1k[ x ,x , .. . , x ]f [ x ,x , .. . , x ] [ x ,x , .. . , x ]xiiffx??? ? ? ? ????? 定理 :差商具有如下性質(zhì) (1)差商與函數(shù)值的關(guān)系為 (2)差商的值與結(jié)點(diǎn)排列順序無關(guān) ? ?010 1(), , . . . ,39。 ( )nini nifxf x x xx?? ?? ?00, , , , , , , , , , ,i j nj i nf x x x xf x x x x?? ???????01( 3 ) ( ) [ , ], , , [ , ] ,[ , ] ,nf x a b nx x x a bab???設(shè) 在 上 有 階 導(dǎo) 數(shù) , 且 則 存 在 使 下 式 成 立 。? ?!)(, . . . ,)(10nxxxffnn??為了使 Newton 插值多項(xiàng)式具有承襲性，選擇如下一組函數(shù)作為基函數(shù)： ? ? ? ? ? ? ? ?? ?0 1 11,1i i ix x x x xin? ? ???? ? ??? 稱01, , ,n? ? ????為 Ne wt on 插 值 以01, , ,nx x x???為結(jié)點(diǎn)的基函數(shù)。 Ne wton 插值問題是尋找次數(shù)≤ｎ的多項(xiàng)式 ? ? ? ?01, , ,nnN x s p a n ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ?0 0 1 10 1 00 1 1n n nnnN x c c cc c x xc x x x x x x? ? ??? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? 使?jié)M足條件： ? ? ? ? ? ?, 0 ,1 , 2 , ,n i iN x f x i n?? 在式? ?nNx的表示式中，分別令：? ?, 0 ,1 , 2 , ,ix x i n??根據(jù)插值條件和差商定義可得： ],[],[][)(10101000nnxxxfcxxfcxfxfc???????10 0 1 00 1 2 0 10 0 1 1, , ,( ) ( ) [ , ] ( )[ , ] ( ) ( )[ , , ] ( ) ( ) ( )onnnnc c cN x f x f x x x xf x x x x x x xf x x x x x x x x?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?將 代 入 得 到 ：，)())(](,[)()()](,[)()](,[)()()()(1010101000100100kkkkxxxxxxxxfxNxNxxxxfxNxxxxfxfxNxfxN?????????????????? 因此 ， 每增加一個結(jié)點(diǎn) ， Newton插值多項(xiàng)式只增加一項(xiàng) ， 克服了 Lagrange插值的缺點(diǎn) 。 必須注意， n次代數(shù)插值問題的解是存在且唯一的，因此， Newton插值與 Lagrange 插值只是形式上不同，若將它們按 x的冪展開，所得的多項(xiàng)式是完全一樣的。 插值余項(xiàng)問題： 定理：設(shè)? ?nNx是 n 次 Newton 插值多項(xiàng)式，則 ? ? ? ? ? ?0 1 1, , ,n n nR x f x x x x x??? 證明：表達(dá)式? ? ? ? ? ?0 1 1, , ,n n nR x f x x x x x? ?? 在? ?, 0 ,1 , 2 , ,ix x i n??處是顯然成立的。 現(xiàn)設(shè) x 是? ?,ab上異于01,nx x x的任一點(diǎn)，以01, , ,nx x x x為結(jié)點(diǎn)的 1n ? 次Ne wton 插值多項(xiàng)式為 ? ? ? ? ? ? ? ?1 0 1 1, , ,n n n nN t N t f x x x x t????? 令 tx? ，因 x 是 結(jié) 點(diǎn) ， 故 有? ? ? ?1nN x f x??。 于是上式變?yōu)? ? ? ? ?? ? ? ?0 1 1, , ,nnnf x N xf x x x x x???? 從而插值余項(xiàng)為： ? ? ? ? ? ?? ? ? ?0 1 1, , ,nnnnR x f x N xf x x x x x????? x y f[ Xi,Xj] f[ Xi,Xj,Xk] …… f[X0,X1,…, Xn]