數(shù)學(xué)分析-數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)-閱讀頁(yè)
2025-08-09 06:21本頁(yè)面
【正文】 性質(zhì)1 收斂， — Const 收斂且有 = 性質(zhì)2 和 收斂 ， 收斂, 且有 = .性質(zhì)3 若級(jí)數(shù) 收斂 , 則任意加括號(hào)后所得級(jí)數(shù)也收斂 ,且和不變 .167。 正項(xiàng)級(jí)數(shù) : ↗。 基本定理 : Th 1 設(shè) . 則級(jí)數(shù) 收斂 . 且當(dāng) 發(fā)散時(shí), 有, . ( 證 )3. ⅱ 發(fā)散, 發(fā)散.( ⅱ 是ⅰ的逆否命題 )例1 ⅱ 時(shí) , 收斂, 收斂。 正項(xiàng)級(jí)數(shù)判斂法: 1． 檢比法： 亦稱(chēng)為 D’alembert判別法 .用幾何級(jí)數(shù)作為比較對(duì)象 , 有下列所謂檢比法 .Th 3 設(shè) 為正項(xiàng)級(jí)數(shù) , 且 及 時(shí) ⅰ 若 , 收斂。 ⅱ 或 = , 發(fā)散. ( 證 ) 例4 判斷級(jí)數(shù) 時(shí), 。 ⅱ 若 , 發(fā)散. ( 證 )推論 ( 檢根法的極限形式 ) 設(shè) 為正項(xiàng)級(jí)數(shù) , 且 . 則 , 收斂。 例6 討論下列級(jí)數(shù)的斂散性: ⑴ 。 對(duì)正項(xiàng)級(jí)數(shù)，用直接比較法判斂時(shí) , 常用下列不等式: ⑴ . ⑵ 對(duì) , 有 . ⑶ 。 時(shí) , 發(fā)散.例3 設(shè)數(shù)列 有界 . 證明 .證 設(shè) . 例4 設(shè) 且數(shù)列 有正下界 . 證明級(jí)數(shù) .證 設(shè) . 例5 . 若 , 則 .證 。 ⑵ 和 之一或兩者均發(fā)散時(shí), 仍可能收斂 。 二. 利用同階或等價(jià)無(wú)窮小判斂 : ⑵ 。 ⑷ 。 例9 判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性: ⑴ 。 原理 : 常用判定級(jí)數(shù) 收斂的方法證明 或 .例10 證明 . 例11 證明 .例12 設(shè) ↘ . 若 收斂, .證 對(duì) , 由 收斂, 有 , 即 。 3 一般項(xiàng)級(jí)數(shù) 二. 絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)及其性質(zhì) : 一般項(xiàng)級(jí)數(shù)判斂時(shí), 先應(yīng)判其是否絕對(duì)收斂. 2. 絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)可重排性 : ⑴ 同號(hào)項(xiàng)級(jí)數(shù) ： 對(duì)級(jí)數(shù) ，令 則有 ⅰ 和 均為正項(xiàng)級(jí)數(shù) , 且有 和。 例7 判斷級(jí)數(shù) 的絕對(duì)收斂性. 解 由Dirichlet判法,.
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