[理學]第2講一致收斂級數(shù)的判別和性質-資料下載頁
2024-10-16 21:22本頁面
【正文】 ， 有 。? ?? ?mmmmm000NN0NN1 1 N, [ , ] .( ) ( ) , 0, N( ) ( ) .2( ) ( ) .2()( ) ( ) ( ) ( )2M ( ) (kkkkkknnnmnnnnnnxx x a bssn N s ssss x xs x s s ss x s?? ? ??????????? ? ???????????? ? ????? ? ??m由 于 點 列 是 有 界 點 列 ，所 以 存 在 收 斂 子 列 設 lim由 于 lim 所 以 對 上 面 的 存 在 ，當 時 ， 特 別 有由 于 在 連 續(xù) ， 而 ， 故 l i m = ，故 存 在 ， 當 mM 時 ，mm m m m002 2 1 2N N 0)2M ( ) ( ) , } ,2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .kk k k knn n n ns x s Ms x s x s x s s x s?????? ? ????? ? ? ? ? ?，由 于 s(x) 在 點 連 續(xù) ,故 存 在 ， 當 mM 時 ， ， 所 以 mmax{M 時? ? ? ?k k k km m m mkkmmkkn n N n n 0n n 0n n 0( x ) ( x ) ( x ) ( x ) .( x ) ( x ) .( x ) ( x ) .( ) ,kkmknnnns s s ssssss x a b???? ? ? ?????k這 樣 一 來 ， 當 n N 時 ， ( 由 單 調 性 ) 有從 而 可 得 到這 與 相 矛 盾 反 設 錯 誤 。則 在 閉 區(qū) 間 上 一 致 收 斂 于 s(x) 。? ?? ?? ?? ?? ?:( ) ,( 1 ) ( ) ( 1 , 2, 3 ) , 。( 2 ) ( ) , 。( 3 ) , ( ) 。( ) ,nnnnu x a bu x n a bs x a bx a b u xu x a b???? ? ? ? ? ? ?????n=1n=1n=1Dini 定 理 的 級 數(shù) 形 式設 在 閉 區(qū) 間 上 點 收 斂 于 s(x),且 滿 足在 上 連 續(xù)在 上 連 續(xù)對 固 定 ， 是 正 項 級 數(shù) 或 者 負 項 級 數(shù)則 在 閉 區(qū) 間 上 一 致 收 斂 于 s(x) 。1212( 1 ) ( )( ) ( ) ( ) ( )D ( ) .( 3 ) 0 ( )( ) ( ) ( )( 4 ) 0nn n mxx u x u x u xxN N m n Nu x u x u xxDN????????? ? ? ? ? ? ? ? ? ???????? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ???nn=1nnn=1判 定 定 理 總 結 ： 以 下 幾 條 等 價u 在 D 上 一 致 收 斂 .(2) 部 分 和 函 數(shù) 列 s在 上 一 致 收 斂 于 某 個 函 數(shù) 該 函 數(shù) 記 為 s ( x ) = u對 任 給 ， ， 使 得 時 ， 對 一 切 成 立 .對 任 給 ，12n()( ) ( ) ( )( 5 ) ( ) D 0.( 6 ) , ( ) 0nnnN m n Nx u x u xxDxx D x??????? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ?nnn， 使 得 時 ， 余 和 函 數(shù) r = 對 一 切 成 立 .余 和 函 數(shù) r 在 上 一 致 趨 于任 意 點 列 有 r （ n ) .111) ( )( ) ,()nnnnnnnnwe ie rstra ss u x x Du x a x Da u x D???????? ? ????定 理 （ 判 別 法 設 ， 滿 足 且 收 斂 ， 則 在 上 一 致 收 斂 .? ? ? ?( x ) x( x ) ( x ) ( x ) ( ) 。x ( x ) xnn n nnaa a a M x Na????? ? ????nn=1nnn = 1 n = 1定 理 (Abel 判 別 法 ), 若 b ( ) , 滿 足(1) 關 關 于 n 單 調 , 在 D 上 一 致 有 界 : D , n( 2 ) b ( )在 D 上 一 致 收 斂 . 則 b ( ) , 在 D 上 一 致 收 斂 .? ?? ?( ) , ( ) ( )( 1 ) ( ) , 0 。 ( 2 ) ( )( ) . ( ) ( ) .nnnnn n nD ir ic hle t a x b xa x n b xs x D a x b x D???定 理 判 別 法 若 滿 足關 于 單 調 且 一 致 收 斂 于 的 部 分 和 序 列在 上 一 致 有 界 則 在 上 一 致 收 斂0 0 0D0b b ba a aDD( ) ( ) (li m li m ( ) li m ( ) li m li m ( ) D li m ( ) ( ) li m ( )2 ( ) ( )( ) ( ) (nnnx x n x x n x xnnnnnns x s xs x s x s x xs x dx s x dx s x dxs x s xs x x?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ???????? ? ?? ? ?????????????? ? ?上 一 致 收 斂上 收 斂上 一 致 收 斂性 質 總 結 :(1) 設 主 要 條 件 ） ， 則 有， ；， [ a , b ] D 。（ ） 設 ， 主li m ( ) ( ) li m ( ) Dnnnnd d ds x s x s x xdx dx dx? ? ? ?? ? ?要 條 件 ）則 有 ， 。0 0 0D1011b b ba a a11D1D1( ) ( ) (li m ( ) li m ( ) li m ( ) D ( ) ( ) ( ) , [ ( ) ( ) 。( ) ( )nnnnx x x x x xnnnnnnnnnnu x s xu x s x u x xu x dx s x dx u x dxu x s xu x x?????? ? ?????????????????? ? ?? ? ??????? ???????????? ? ???上 一 致 收 斂上 收 斂上 一 致 收 斂(3) 設 主 要 條 件 ） ， 則 有 ， ；a , b ] D 。（ 4 ） 設11(( ) ( ) ( ) . D .nnnnd d du x s x u x xdx dx dx????? ? ???主 要 條 件 ） ，則 有作業(yè) P82： 1（ 4）（ 5）（ 6） 6
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