第二節(jié)正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其收斂法-資料下載頁(yè)
2025-10-02 12:27本頁(yè)面
【導(dǎo)讀】正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其收斂法。例4判定斂散性:?時(shí)比值（根值）審斂法失效。正、負(fù)項(xiàng)相間的級(jí)數(shù)稱為交錯(cuò)級(jí)數(shù).絕對(duì)收斂還是條件收斂。，其收斂性與和均不變；序，使其按任意預(yù)定的方式收斂或發(fā)散。
【正文】 ????xnnnnnxnnnnnnnnnnnnn)3,3(,3 ?收斂區(qū)間為所以收斂半徑為1l im nn nuu??????1R??因 為三 .冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì) ????0)(nnn xgxb)(0xfxannn ????設(shè) 收斂半徑分別為 和 ,記 1R 2R },m in { 21 RRR ?則對(duì)于任意的 , 有 ),( RRx ??)()()().1(000xgxfxbaxbxannnnnnnnnn ????? ?????????)()()()()) .(2(0011000xgxfxbababaxbxannnnnnnnnnn?????????? ??????????利用乘法可以定義除法 ??? ????????000)()(nnnnnnnnn xcxbxa??? ?????? ?000nnnnnnnnnxcxbxa則 注意 ,商級(jí)數(shù)的收斂半徑可能比原來(lái)要小得多 2. 分析運(yùn)算性質(zhì) )(0xSxannn ????設(shè) 收斂半徑為 R, 則 (1) S(x) 在收斂域內(nèi)連續(xù) 。 (2) S(x) 在 (R,R)內(nèi)可導(dǎo) ,且 ??? ?????????????0100)()()(nnnnnnnnn xnaxaxaxS即冪級(jí)數(shù)在 (R,R)內(nèi)可以逐項(xiàng)求導(dǎo) ,所得到的冪級(jí)數(shù) 收斂半徑不變 . 可推廣到任意階導(dǎo)數(shù) (3) S(x)在 (R,R)內(nèi)可積 ,且 ?? ?? ?? ??????? ????010 00 00 1][)(nnnnx nnxnnnx xnadxxadxxadxxS即冪級(jí)數(shù)在 (R,R)內(nèi)可以逐項(xiàng)積分 ,所得到的冪級(jí)數(shù) 收斂半徑不變 . 注意 :(2),(3)中端點(diǎn)需要另外討論 . 例 求和函數(shù) ???1).1(nnnx設(shè)和函數(shù)為 S(x) ?????11)(nnnxxxS ?????1)(nnxx )(1?? ???nnxx2)1()1( xxxxx?????( |x| 1 ) ??? ?0 1).2(nnnx設(shè)和函數(shù)為 S(x) 則 ?????? 011)( nnnxxxS)(0 0? ????nx n dxx ? ???? xnn dxx0 0)()1ln (1 10 xdxxx ????? ?1 l n( 1 ) , 0 | | 1()0 , 0xxSx xx? ? ? ? ?????
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