【正文】 。定理04：有關(guān)收斂半徑和一致收斂 若冪級數(shù)（2）的收斂半徑為，且在（或）時收斂，則級數(shù)（2）在(或)上一致收斂。定理01：阿貝爾定理 若冪級數(shù)（2）在處收斂，則對滿足不等式的任何x，冪級數(shù)（2）收斂而且絕對收斂；若冪級數(shù)（2）在處發(fā)散，則對滿足不等式的任何x，冪級數(shù)（2）發(fā)散 注：由此定理知道冪級數(shù)（2）的收斂域是以原點為中心的區(qū)間，若以2R表示區(qū)間的長度，則R為冪級數(shù)的收斂半徑，實際上，它就是使得冪級數(shù)（2）收斂的那些收斂點的絕對值的上確界，我們稱（R，R）為冪級數(shù)（2）的收斂區(qū)間。定理05：阿貝爾判別法 設(shè)① 在區(qū)間I上一致收斂；② 對于每一個是單調(diào)的；③ 在I上一致有界，即對一切和正整數(shù)n，存在正數(shù)M，使得 ，則級數(shù)在I上一致收斂定理06：狄利克雷判別法 設(shè)① 的部分和數(shù)列 在I上一致有界；② 對于每一個是單調(diào)的；③ 在i上，則級數(shù) 在I上一致收斂。08 Riemann定理: 設(shè)級數(shù)條件收斂，則對任意給定的α，必定存在的更序數(shù)列滿足 = a。01定義：交錯級數(shù) 若級數(shù)的各項符號正負相間,且滿足單調(diào)減少且收斂于0，則稱這樣的交錯級數(shù)為Leibniz級數(shù)02 定理：Leibniz判別法 有交錯級數(shù) ，若 ① ② 則級數(shù) 收斂證： 證明部分和序列 的兩個子列和收斂于同一極限 . 為此先證明遞增有界. , 所以，序列又 , 即數(shù)列有界.由單調(diào)有界原理, 數(shù)列收斂 . 設(shè) . .為了討論比Leibniz級數(shù)更廣泛的任意項級數(shù)，我們先來討論下述引理03 Abel變換： 設(shè)，是兩數(shù)列，記則利用Abel變換即得到如下的Abel引理04 Abel引理：① 為單調(diào)數(shù)列② 為有界數(shù)列，即存在M0，對一切k，成立則 05 級數(shù)的AD判別法： 若下列兩個條件之一滿足，則級數(shù)收斂① （Abel判別法）單調(diào)有界，收斂；② （Dirichlet判別法）單調(diào)趨于0，有界06 條件收斂與絕對收斂： 如果級數(shù)收斂，則稱為絕對收斂級數(shù)，如果級數(shù)收斂而發(fā)散，則稱為條件收斂級數(shù)。 為此，我們從正項級數(shù)轉(zhuǎn)向討論任意項級數(shù)，也就是通項任意的可正可負的級數(shù)。 一個級數(shù)，如果只有有限個負項或有限個正項，都可以使用正項級數(shù)的各種判別法來判斷他的收斂性。如果原級數(shù)含有等形式,則可試用達朗貝爾判別法。判別法05：積分判別法 設(shè)為上非負減函數(shù),那么正項級數(shù)與反常積分同時收斂或同時發(fā)散. 證明： 由假設(shè)為上非負減函數(shù),對任何正數(shù),在上可積,從而有 .依次相加可得 (1)若反常積分收斂,則由（1）式左邊，對任何正整數(shù)，有 .：（正項級數(shù)的收斂原理),級數(shù)收斂. 反之,若為收斂級數(shù),則由（1）式右邊，對任一正整數(shù)有 . (2)因為為非負減函數(shù),故對任何正數(shù),都有 .根據(jù)(2)式得反常積分收斂.用同樣的方法,可以證明與是同時發(fā)散的. 注：積分判別法是利用非負函數(shù)的單調(diào)性和積分性質(zhì),并以反常積分為比較對象來判斷正項級數(shù)的斂散性.綜上所述,判別正項級數(shù)的斂散性有多種方法,比較判別法、柯西判別法、達朗貝爾判別法、拉貝判別法、積分判別法,判斷出它們之間的大小關(guān)系,則用比較判別法。至此我覺得再繼續(xù)研究下去沒有意義,這里就不再進一步介紹了。布洼因此為了獲得判別范圍更大的一類級數(shù), p級數(shù)代替幾何級數(shù),仿照比值判別法建立了一個拉貝判別法,它比比值判別法要精確,有些比值判別法不能判別的用拉貝判別法可以判別. 下面我們將一起探討的判別法：拉貝判別法將在一定程度上彌補上述的局限性判別法04：拉貝判別法 [4] 設(shè)有正項級數(shù),存在常數(shù).① 若,有,則級數(shù)收斂；② 若,有,則級數(shù)發(fā)散. 證明：① ,因此,存在正數(shù),使對任意,.這樣 .于是,當時就有 當時,級數(shù)收斂,故級數(shù)收斂. ② 由可得,于是 .因為發(fā)散,故級數(shù)發(fā)散. 注：雖然拉貝判別法有時可以處理達朗貝爾判別法失效（即出現(xiàn)的情況）的級數(shù)，但當?shù)那闆r出現(xiàn)時拉貝判別法依然失效，即級數(shù)可能收斂，也可能發(fā)散。但是對某些具體例子而言，兩種判別法都適用，而達朗貝爾判別法比柯西判別法更方便一些，讀者應根據(jù)級數(shù)的具體情況來選擇合適的判別法。但是，能用柯西判別法判定的級數(shù)，卻未必能用達朗貝爾判別法判定。② 當時,級數(shù)發(fā)散. 證明： ① ,由數(shù)列極限定義,有 或 ,根據(jù)判別法03：達朗貝爾判別法,級數(shù)收斂.② 已知,根據(jù)數(shù)列極限的保號性,：達朗貝爾判別法,級數(shù)發(fā)散.注：在柯西判別法和達朗貝爾判別法中只討論了的情況,并沒有考慮的情況,也沒有考慮l不存在又是怎樣的情況, [1]設(shè)正項級數(shù)，那么有： 證明： 設(shè) ，由上下極限的知識我們可知，對任意給定的，存在正整數(shù)N，使得對一切 ，成立 于是，從而 ，由的任意性，即得到 類似的可以證明： ≦ 。② 當時,級數(shù)發(fā)散. 證明： ① ，由數(shù)列極限定義,有 或 ,根據(jù)判別法02：柯西判別法可以得到級數(shù)收斂. ② 已知,根據(jù)數(shù)列極限的保號性,有,根據(jù)判別法02：柯西判別法可以得到級數(shù)發(fā)散.注：多數(shù)情況下正項級數(shù)的通項開n次方根不會直接得出一個常數(shù),或者計算復雜，所以通常情況下使用柯西判別法的極限形式判別級數(shù)的斂散性.判別法03：達朗貝爾判別法 [4] 設(shè)正項級數(shù),存在常數(shù).① 若,有 ,則級數(shù)收斂。如果猜想原級數(shù)發(fā)散,就找一個適當?shù)陌l(fā)散級數(shù)來比較,使得原級數(shù)的各項大于或等于比較級數(shù)的對應項. 但要另外找到一個適當?shù)恼椉墧?shù)作為比較級數(shù),不必另找比較級數(shù),——.判別法02：柯西判別法 [4] 設(shè)有正項級數(shù),存在常數(shù).① 若,不等式 成立,則級數(shù)收斂。注：比較法的使用條件以及與其他方法的聯(lián)系① 比較判別法只適用于正項級數(shù)斂散性的判斷。 ? 若級數(shù)發(fā)散,且，由已知條件,，有，對他變形我們可以得到而且，即，有，依據(jù)判別法01：比較判別法，我們可以得到級數(shù)也發(fā)散。（Ⅱ）若級數(shù)發(fā)散,且，則級數(shù)也發(fā)散。 正項級數(shù)的各種判別法判別法01：比較判別法 設(shè)與是兩個正項級數(shù)，若存在常數(shù)使得，n = 1,2,...,則（Ⅰ）若級數(shù)收斂,則級數(shù)也收斂。 ? 當時,p收斂.這三個重要技術(shù)的作用： 。(Ⅰ) 時,已知幾何級數(shù)的項部分和 ? 當時,存在極限,且因此,當時,幾何級數(shù)收斂,其和是,即.? 當時,不存在極限,因此,當時,幾何級數(shù)發(fā)散.(Ⅱ) 當時,有兩種情況:?當時,幾何級數(shù)是 (a ≠ 0), .即部分和數(shù)列發(fā)散.?當時,幾何級數(shù)是 部分和數(shù)列{ Sn }發(fā)散.于是,當|r| = 1時,幾何級數(shù)發(fā)散.綜上所述,幾何級數(shù),當時收斂,其和是,當時發(fā)散.級數(shù)02：調(diào)和級數(shù) 如前所述它的形式為：下面我們證明調(diào)和級數(shù)是發(fā)散的. [3] 證明 設(shè)調(diào)和級數(shù)的項部分和是,即由于 于是調(diào)和級數(shù)的前項部分和滿足 由于，即當時,調(diào)和級數(shù)的部分和與是等價無窮大,，調(diào)和級數(shù)發(fā)散。他們是正項級數(shù)斂散性的判別方法中經(jīng)常要用到的三個比較因子,下面簡單介紹它們斂散性的證明,便于后面能更好的應用.級數(shù)01：幾何級數(shù) 如前所述它的形式為：的斂散性,其中a不等于0 ，q是公比。,而只需粗略地估計Sn的值當N∞（或發(fā)散）的最基本方法,幾乎所有其它的判別法都是由它導出。[1]：（正項級數(shù)的收斂原理) 內(nèi)容：正項級數(shù)收斂的充分必要條件是他的部分和數(shù)列有上界。 級數(shù)收斂的判斷 [1]：（級數(shù)收斂的必要條件)設(shè)級數(shù)收斂，其通項所構(gòu)成的數(shù)列是無窮小量，即 證明：由級數(shù)收斂的基本判別定理——柯西收斂準則:,可得出該定理:若級數(shù)收斂,則.：若則級數(shù)發(fā)散. 其實,作用或者意義 ，而非充分條件，換言之，數(shù)列為無窮小量并不能保證級數(shù)收斂，本定理可以用來判斷某些級數(shù)發(fā)散。 設(shè)的收斂域為，則）就定義了集合D上的一個函數(shù) 稱為的和函數(shù)。對于任意固定的，若數(shù)項級數(shù)收斂，則稱函數(shù)項級數(shù)在點收斂，或稱是的收斂點。由上定義可知，只有當無窮級數(shù)收斂時，無窮多個實數(shù)的加法才是有意義的，并且他們的和就是級數(shù)的部分和的極限。 三個重要級數(shù)[2] 級數(shù)01：幾何級數(shù) 幾何級數(shù)又稱為等比級數(shù)，定義格式： 其中，是公比。為此作級數(shù)的“部分和數(shù)列”； ,