函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的判別-文庫(kù)吧資料
2025-05-22 02:09本頁(yè)面
【正文】 積分判別法定理7 設(shè)為區(qū)域上的非負(fù)函數(shù), 是定義在數(shù)集Ｄ上正的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù), 且為非負(fù)函數(shù), 如果在上關(guān)于為單調(diào)減函數(shù), 若含參變量反常積分在數(shù)集Ｄ上一致收斂, 在數(shù)集Ｄ上一致收斂。其次，對(duì)每一個(gè)關(guān)于n是單調(diào)遞減的，且有 。例9 在上，級(jí)數(shù)。又對(duì)單調(diào)減少且，于是在上一致收斂于零。例8 試判別的一致收斂性。 則級(jí)數(shù)(4)在上一致收斂。特別地，比如在上是一致收斂的。而關(guān)于n單調(diào)，且，對(duì)一切n成立。例7 設(shè)收斂，則在上一致收斂。解：設(shè)。3. 關(guān)于函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的三個(gè)重要判別法 阿貝爾判別法定理5 (Able判別法) 定義在區(qū)間上的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) (4)(1) 在區(qū)間I上一致收斂；(2) 對(duì)于每一個(gè)是單調(diào)的；(3)在上一致有界, 即對(duì)一切和正整數(shù), 存在正數(shù), 使得, 則級(jí)數(shù)(4)在上一致收斂。例5：設(shè)，在連續(xù)且在內(nèi)一致收斂，且由均收斂，證明上一致收斂。(充分性) 設(shè)對(duì)任意的, 存在正整數(shù), 只要, 對(duì)一切和任意正整數(shù)有,所以對(duì)一切和一切任意正整數(shù), 令, 可得, 只要, 對(duì)一切有,所以函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在數(shù)集Ｄ上一致收斂, 充分性得證。 存在，當(dāng)時(shí), 對(duì)一切， 都有成立。注 用放大法判定函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性時(shí), 需要知道。證明： 因, 故對(duì)任給的, (與無(wú)關(guān)), 使得當(dāng)時(shí), 對(duì)一切, 都有。易知，該點(diǎn)為函數(shù)于是： 故原級(jí)數(shù)在上一致收斂。因而。例4 討論函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性。 余項(xiàng)判別法 定理 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在數(shù)集上一致收斂于的充要條件是。 定義判別法例3 討論。例2 試證在區(qū)間上一致收斂。因收斂，由M判別法知在上一致收斂。例1 證明函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，一致收斂。2. 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性的基本判別法 M判別法定理 (M判別法) 設(shè)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)定義在數(shù)集Ｄ上, 為收斂的正項(xiàng)級(jí)數(shù), 若對(duì)一切, 有, , 則函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在Ｄ上一致收斂。由于函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性是由它的部分和數(shù)列來確定, 所以可以根據(jù)函數(shù)列一致收斂性定義得到等價(jià)定義。定義設(shè)是函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列。若級(jí)數(shù)(3)發(fā)散，則稱級(jí)數(shù)(1)在點(diǎn)發(fā)散。稱, , (2)為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(1)的部分和函數(shù)列。本文結(jié)合上述文獻(xiàn), 總結(jié)出了函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的其它判別法, 如對(duì)數(shù)判別法, 導(dǎo)數(shù)判別法, M判別法的推論等, 并給出了一些判別法的證明, 此外也用一些例題驗(yàn)證它的可行性。 文獻(xiàn)[5][3]給出了函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的兩個(gè)充要條件: 柯西準(zhǔn)則, 余項(xiàng)定理, 并用上述方法判別一致收斂以及證明其它的一些定理。 文獻(xiàn)[1]討論了函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的基本判別法, 給出了一致收斂的定義和萊布尼茨判別法。 這些都要對(duì)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性提出更高的要求。函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)既可以被看作是對(duì)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的推廣, 同時(shí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)也可以看作是函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一個(gè)特例, 它們?cè)谘芯績(jī)?nèi)容上有許多相似之處。判別函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂時(shí)，通常用到柯西準(zhǔn)則,M判別法，阿貝爾判別法，狄利克雷判別法，萊布尼茲判別法或者直接根據(jù)一致收斂的定義進(jìn)行判別。 uniform convergence。關(guān)鍵詞：函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)；一致收斂性；判別法。而因此本論文中提出了函數(shù)級(jí)數(shù)一致收斂的定義, 柯西一致收斂準(zhǔn)則, 魏爾斯特拉斯判別法(M判別法), 狄利克雷判別法, 阿貝爾判別法, 余項(xiàng)判別法, 積分判別法。 河南師范大學(xué)新聯(lián)學(xué)院本科畢業(yè)論文 學(xué)號(hào)：0901174099函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的判別專業(yè)名稱： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 年級(jí)班別： 2009級(jí)1班 姓 名： 張慶明 指導(dǎo)教師： 左紅亮 2013年04月 河南師范大學(xué)新聯(lián)學(xué)院本科畢業(yè)論文
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