函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性及其應(yīng)用-文庫(kù)吧資料
2025-06-24 23:47本頁(yè)面
【正文】 正整數(shù)，使得當(dāng)及任何正整數(shù)，對(duì)一切，有 又由（?。?，（ⅱ）及阿貝爾引理得到 .于是根據(jù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性的柯西準(zhǔn)則就得到本定理的結(jié)論.例4 判斷函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，的一致收斂性.證明 記 ，,因?yàn)槭鞘諗康臄?shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，從而在上一致收斂.又因?yàn)槊總€(gè)，單調(diào)，且在上一致有界，于是由阿貝爾判別法易知級(jí)數(shù)（4）在上一致收斂(劉慶生，2009；翟永恒，2009；劉桂仙，2009)[5]. 狄利克雷判別法定理8 （狄利克雷判別法）設(shè)（ⅰ）的部分和函數(shù)列 ，（n=1，2，…）在上一致有界；（ⅱ）對(duì)于每一個(gè)，是單調(diào)的；（ⅲ）在上，則形如的級(jí)數(shù)在上一致收斂.證明 由（?。?，存在正數(shù)，對(duì)一切， .對(duì)任何一個(gè)，再由（ⅱ）及阿貝爾引理，得到 .再由（ⅲ），對(duì)任給的，存在正數(shù)，當(dāng)時(shí)，對(duì)一切，有 ，所以， .于是由一致收斂性的柯西準(zhǔn)則，級(jí)數(shù)（4）在上一致收斂.例5 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 在上一致收斂.證明 因?yàn)橛?，時(shí)，一致收斂,單調(diào)且并且一致有界，所以由阿貝爾判別法得函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 在上一致收斂.例6 若數(shù)列單調(diào)且收斂于零，則級(jí)數(shù) 在上一致收斂.證明 由，在上有 ，所以，級(jí)數(shù)的部分和函數(shù)列在上一致有界，于是令 ，則由狄利克雷判別法可得級(jí)數(shù)在上一致收斂. 對(duì)于級(jí)數(shù)，只要單調(diào)且收斂于零，那么級(jí)數(shù)在不包含的任何閉區(qū)間上都一致收斂. 類似數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)判別法的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂判別法函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)作為數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的推廣,在研究?jī)?nèi)容上同數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)有許多極其相似的地方,比如它們的收斂性、和的問(wèn)題,但函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)還有一點(diǎn)不同于數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù),就是它的一致收斂性，對(duì)比數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性和函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性判別法,不難發(fā)現(xiàn),它們?cè)谂袛喾椒ㄉ蠘O其相似,特別是在它們判別法的名稱上,比如它們都有Cauchy判別法、Abel判別法、,有沒(méi)有類似于數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性判別的方法,結(jié)合數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的比式判別法和根式判別法,可以得到函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性的比式判別法和根式判別法,同時(shí)利用級(jí)數(shù)的收斂性和優(yōu)級(jí)數(shù)判別法還可得到函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性的對(duì)數(shù)判別法(毛一波，2006)[6]. 比式判別法 定理9 設(shè)為定義在數(shù)集上正的函數(shù)列,記，存在正整數(shù)及實(shí)數(shù)、,使得:,對(duì)任意的,成立,則函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在上一致收斂.證明 易見(jiàn),而等比級(jí)數(shù)，當(dāng)公比時(shí)收斂，從而由函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的優(yōu)級(jí)數(shù)判別法知，在上一致收斂.定理9有極限形式：定理10 設(shè)為定義在數(shù)集上正的函數(shù)列,記，若： ,且在上一致有界，則函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在上一致收斂. 例7 設(shè)為定義在上的函數(shù)列，證明級(jí)數(shù)在上一致收斂.證明 由于： ，由定理10，知函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在上一致收斂. 根式判別法定理11 設(shè)為定義在數(shù)集上的函數(shù)列，若存在正整數(shù),使得 ，成立，則函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在上一致收斂.證明 由定理?xiàng)l件，成立，而幾何級(jí)數(shù)收斂，由優(yōu)級(jí)數(shù)判別法，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在上一致收斂.注：當(dāng)定理11條件成立時(shí)，級(jí)數(shù)在上還絕對(duì)收斂.定理11的極限形式為：定理12 設(shè)為定義在數(shù)集上的函數(shù)列，若 ，成立，則函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在上一致收斂. 例8 證明函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在上一致收斂（其中為大于1的實(shí)常數(shù)）.證明 因?yàn)? ，由定理12知，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在上一致收斂（吳良森，毛玉輝，2002）[7]. 對(duì)數(shù)判別法定理13 設(shè)為定義在數(shù)集上正的函數(shù)列,若 存在，那么（?。┤?，則函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在上一致收斂.（ⅱ）若,，則函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在上不一致收斂.證明 （?。┯啥ɡ?xiàng)l件知，對(duì)，,使得，有 ，即 ，則當(dāng)，成立時(shí)，有，而級(jí)數(shù)當(dāng)時(shí)收斂，由優(yōu)級(jí)數(shù)判別法知函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在上一致收斂；（ⅱ）當(dāng)對(duì)成立時(shí)，有，級(jí)數(shù)當(dāng)時(shí)發(fā)散，從而函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在上不一致收斂. Dini判別法定理14 若（?。┟總€(gè)均在上連續(xù)且非負(fù)；（ⅱ）在上收斂
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