【正文】 ,有 ? ? ? ? ? ? ????? ??? xUxUxU pnnn ?21 。 定理 ]2[9 設(shè) ? ?xUnn???1在點集上一致收斂于 ??xS ， ??xf 在 S 上有界，則 ? ? ? ?xUxfnn???1在 X 上一致收斂于 ? ?? ?xsxf 。 從上述當(dāng)中的三個定理，可以了解到收斂的和函數(shù)在一致收斂的條件下，若收斂的函數(shù)項級數(shù)每一項都有分析性質(zhì)，那么，和函數(shù)也有同樣的分析性質(zhì)，但是，一致收斂不是和函數(shù)保持同樣分析性質(zhì)的必要條件。 注：逐項求導(dǎo)的定理中的條件，只是充分條件，在條件不滿足時，也可以利用導(dǎo)數(shù)的定義證明和函數(shù)的可微性。 和函數(shù)的連續(xù)性定理還有三種敘述方式，在定理 6 中，可以得出，在函數(shù)級數(shù)一致收斂的條件下，極限運算與和運算可以交換順序。 這是函數(shù)項級數(shù)一致收斂的一般性質(zhì)，下面本文給出和函數(shù)的分析性質(zhì)。 此定 理也可以稱為逐項取極限定理。再根據(jù)本推論， ???1n 2211xn? 在? ?1,0 內(nèi)不一致收斂。 證明：顯然 ?221 1xn? ?在 ? ?1,0 內(nèi)收斂于 0 。 定理 ]5[3 ???1n??xUn 在點集 X 上一致收斂的充分必要條件是對任意 0?? ，都存在自然數(shù) N ， 當(dāng) Nn? 和 Xx? 是，對任意自然數(shù) p ，都有 ? ? ? ?xUxU knkkpnk 11 ??? ?? ? = ? ?xUkpnnk????1 = ? ? ????? xU knpk 1 成立。 證明：顯然 ???1n ? ?xnn 11? 在 ? ?1,0 內(nèi)收斂于 x1 。 suplim??n ? ? ? rxrxxx knk ??????? :11 ? = suplim??n ? ?rxrxn ???? :1 = 1lim??? nn r =0， suplim??n ? ? ? ?10:11 ?????? xxxx knk = suplim??n ? ?10:1 ??? xx n = 1lim??n =1 定理 ]5[2 ???1n??xUn 在點集 X 上一致收斂于 ??xS 的充分必要條件是對任意數(shù)列? ? ? ??,2,1: ?? nXxx nn ，都有 ??nlim ? ? ? ? 01 ???? nnknk xSxU。 例 1 研究 ???1n? ? nxx?1 在 ? ?? ?10, ??? rrr 上和 ? ?1,0 內(nèi)的一致收斂性。 若和函數(shù) ??xS 在區(qū)間 I 的圖像是一條連續(xù)的曲線，那么函數(shù)項級數(shù) ???1n??xUn 在區(qū)間 I 一致收斂于和函數(shù)的幾何意義是，無論給定的以曲線 ??xS ?? 與 ??xS ?? 為邊界的帶形區(qū)域怎樣窄，總存在正整數(shù) N ， Nn?? ，任意一個部分和 ??xSn 的圖像都位于這個帶形區(qū)域之內(nèi)。 定義 ]8[3 設(shè)函數(shù)項級數(shù) ???1n??xUn 在區(qū)間 I 收斂于和函數(shù) ??xS 。 由定義我們可以知道，若函數(shù)級數(shù) ???1n??xUn 在點集 X 上一致收斂于 ??xS ，則在 X上收斂于 ??xS 。 第 2章 函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性 函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性定義 定義 ]4[1 設(shè)函數(shù)級數(shù) ???1n??xUn 的部分和函數(shù)列 ? ? ??xsn ?? nk1????xUk ? 在點集 X 上收斂于 ??xS ，即對任意 Xx? 和 0?? ，都存在自然數(shù) N ，當(dāng) Nn? 時，恒有 ? ? ? ? ? ? ? ? ????? ?? xSxUxSxS nk kn 1 成立，則稱函數(shù)級數(shù) ???1n??xUn 在點集 X 上收斂于 ??xS ，稱 ? ?xS 為函數(shù)級數(shù) ???1n??xUn 在X 上 的和函數(shù)。 定理 ]10[14 （ Dini 定理） 設(shè) ? ?ba, 是一有界閉區(qū)間， ? ? ??? RbafNn n ,:, 連續(xù)函數(shù)且滿足下列條件： 1）函數(shù)序列 ??? ?xfn 是單調(diào)的，即 Nn? ， ? ? ? ?xfxf nn 1?? ， ? ? ? ?xfxf nn 1?? ； 2）函數(shù)序列 ??? ?xfn 在 ? ?ba, 上 ? ?ba, 逐點收斂于一連續(xù)函數(shù) ? ? Rbaf ?,: ， 那么，函數(shù)序列 ??? ?xfn 在 ? ?ba, 是一致收斂于函數(shù)。 定理 ]4[12 設(shè)函數(shù)列 ??? ?xfn 在 ? ?ba, 上收斂于 ??xf ，且 ??xf 在 ? ?ba, 上連續(xù)，又存在自然數(shù) 1N ，使 1Nn? 時，對任意 ? ?bax ,? ，都有 ? ? ? ?xfxf nn 1?? （或 ? ? ? ?xfxf nn 1?? ） 成立，且 ??xfn 都在 ? ?ba, 上連續(xù)，則 ??? ?xfn 在 ? ?ba, 上一致收斂于 ??xf 。 注（ 前面介紹的函數(shù)列的一致收斂性的充分必要條件、性質(zhì)，都能夠作為判定函數(shù)列的一致收 斂性的方法，有的可以判定函數(shù)列的一致收斂性，有的可以判定函數(shù)列的非一 致收斂性，有的兩種都可以判斷。當(dāng) Nn? ，函數(shù) ??xfn 均在有限區(qū)間 X 上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，函數(shù)列??? ?xfn 在 X 是那個收斂于 ??xf ， ??? ?xfn? 在 X 上一致收斂于 ??xg ，則 ? ?xf 在 X 上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù) ? ? ? ?xgxf ?? ， 即 ? ? ? ?xfdxdxfdxd nnnn ???? ? limlim ， 說明求導(dǎo)數(shù)號與極限號可以交換次序。當(dāng) Nn? ，對任? ? X???, ， ??xfn 均在 ? ???, 上可積，那么 ? ? ? ?dxxfdxxf nn ?? ??? ???? lim ， 即 ? ? ? ?dxxfdxxf nnnn ?? ???? ? ???? l iml im 說明積分號與極限號可以交換次序。 推論 設(shè)存在 0?R ，使 ? ?? ?xfn 在 ? ?Rxx ?: 內(nèi)一致收斂于 ??xf ，又存在自然數(shù) N ，使對任意 Nn? ，都有 ? ? nnx Axf ???lim ， 則 ? ? nnx Axf ???? ? limlim ， 即 ? ? ? ?xfxf nxnnnx ???????? ? limlimlimlim ， 說明極限號??xlim與??nlim可以交換次序。 在定理當(dāng)中的 ??xf 在 X 上有界，以及存在 0?? ，使對任 意 Xx? ，都有 ? ? ??xg 成立，全都是不可缺少的。 例 3 試證????????????????????? ?21cos1sinxnnx 在 ? ????? , 內(nèi)一致收斂于 xsin 。并且，本定理當(dāng)中的 ??xg 在 X 上有界，也是不能缺少的。 定理 ]1[6 設(shè) ??? ?xfn 在點集 X 上一致收斂于 ??xf ，又 ??xg 在 X 有界，則 ? ? ? ?? ?xgxf nn 在 X 上一致收斂于 ? ? ? ?xgxf 。 函數(shù)列一致收斂的性質(zhì) 定理 ]2[4 設(shè) ??? ?xfn 與 ??? ?xgn 在點集 X 上分別一致收斂于 ??xf 與 ??xg ，則 ? ? ? ?? ?xgxf nn ? 在 X上一致收斂于 ? ? ? ?xgxf ? 。于是，對于任一 Xx?0 ，當(dāng) NnNm ?? , 時，恒有 ? ? ? ? ?? ??? 200 xfxf nm 成立，根據(jù)柯西收斂準(zhǔn)則，數(shù)列 ? ?? ?0xfn 收斂，那么，函數(shù)列 ??? ?xfn 在 X 上收斂，不妨設(shè)收斂于 ??xf 。因此，當(dāng) NnNm ?? , 和 Xx? 時，恒有 ? ? ? ? 2??? xfxfm ? ? ? ? 2??? xfxfn 成立，所以，恒有 ? ? ? ? ??? xfxf nm 成立。 定理 ]2[3 ??? ?xfn 在點集 X 上一致收斂的充分必要條件是對任意 0?? ，都存在自然數(shù) N ，當(dāng)NnNm ?? , 時，恒有 ? ? ? ? ??? xfxf nm 成立。于是， 對任意自然數(shù) k，均有 ? ? ? ? 0??? kkk nnn xfxf 成立。 定理 ]1[2 ??? ?xfn 在點集 X 上 一致收斂于 ??xf 的充分必要條件是對任意