關(guān)于連續(xù)與一致連續(xù)畢業(yè)論文-文庫(kù)吧資料
2024-09-03 16:06本頁(yè)面
【正文】 ??? )(lim 0存在， dx ??lim_1存在，令1)1,0(0,),(,)(?????????xxxdxfcxF 則 )(xF 在 ? ?1,0 里連續(xù)，且 )(xF = )(xf ， ).1,0(??x 例 xxxf sin)( ? 在 ???x0 上的一致連續(xù)性。 再證必要性，由上題可證 )(lim0 xfax ??存在，類(lèi)似上題可證 )(lim0 xfbx ??存在。 南京師范大學(xué)泰州學(xué)院本科畢業(yè)論文 12 例 )(xf 在有限開(kāi)區(qū)間 ? ?ba, 上連續(xù)，證明： )(xf 在 ? ?ba, 上一致連續(xù)的充要 條件是 )(lim0 xfax ??及 )(lim0 xfbx ??都存在。 例 4．已知 )(xf 在 ? ?ba, 上連續(xù)，證明： )(lim xfax ??存在。 證 ：因?yàn)?)(xf 在 ? ???，0 上連續(xù)，又由羅比塔法則可證 0314lim ???? xx ex 。39。 xx 時(shí)，由 a, b 倆式知??? )()( 39。39。39。 證 : 因?yàn)?Axfx ???? )(lim，由柯西準(zhǔn)則， 0,0 ???? M? 當(dāng) Mxx ?2,1 s時(shí)，有,)()( 21 ??? xfxf . a 又由于 )(xf 在 ? ?， 10 ?M 上連續(xù)，從而一致連續(xù)，故對(duì)上述00 1, ??? ?? ， ，當(dāng) ?43,xx ? ?， 10 ?M ，且 143 ???xx 時(shí)，有 ,)()( 43 ??? xfxf b 取 ? ?1,min 1?? ? 則 ? ????? ,0, 39。 （ 3） 0,1)( limlim_0 ?? ?? ? ?xx xf滿(mǎn)足定理?xiàng)l件，故 )(xf 在區(qū)間內(nèi)一致連續(xù)。 解 ：（ 1） ? ?1,0,)( 3 ?? xxxf 在 ? ?1,0 內(nèi)連續(xù)，且 1,0)( 310 li mli m ?? ?? ?? xxf xx 即 1,0)( 310 li mli m ?? ?? ?? xxf xx都存在，故 )(xf 在 ? ?1,0 一致連續(xù)。 xf 在 X 上有界，則 )(xf 在 X 上一致連續(xù) 。 xgxgLxfxf ??? 成立，而 )(xg 在 X 上一致連續(xù)，則 )(xf 在 X上也一致連續(xù)。39。39。 XxxL ???? 有)()()()( 39。39。 ：函數(shù)在 )(xf 上一致連續(xù)的充分條件是 )(xf 在 ? ????， 上連續(xù)且 )(??f 和 )(??f 都存在。 2：函數(shù)在 ? ?b，? 上一致連續(xù)的充分條件是 )(xf在 ? ?b，? 上連續(xù)且 )(??f 存在。 1：函數(shù) )(xf 在 ? ???,a 上一致連續(xù)的充分條件是)(xf 在 ? ???,a 上連續(xù)且 )(??f 存在。 2：函數(shù) )(xf 在 ? ?ba, 上一致連續(xù)的充分必要條件是 )(xf 在 ? ?ba, 上連續(xù)且 )( ?af 存在。 南京師范大學(xué)泰州學(xué)院本科畢業(yè)論文 10 一致連續(xù)的基本定理及其應(yīng)用證明題 1：函數(shù) )(xf 在 ? ?ba, 上一致連續(xù)的充分必要條件是 )(xf 在 ? ?ba, 上連續(xù)且 )( ?af 與 )(?bf 都存在。 ,0??? 取 ?? 2? ，當(dāng) ? ???? ,1, 21 xx 且 ??? 21 xx 時(shí)，有 ????? 2 2121 xxxx 。 解 :（ 1） 設(shè)函數(shù) )(xf 在區(qū)間 I 有定義，若 ??? ???????? 212,1 :,0,0 xxIxx 有 ,)()( 21 ??? xfxf 稱(chēng)函數(shù) )(xf 在 I 上一致連續(xù)。 例 6．設(shè)函數(shù) )(xf 定義在區(qū)間 ? ?ba, 上。 nnxx nn ， 039。 （ 2） xxg 1sin)( ? ,在 ? ?1,0 內(nèi)取?? )1( 2,1 39。39。39。39。39。xx 時(shí)，?? ??????? 239。 證 : 對(duì) 0??? 取 ?? 2a? 區(qū)間，當(dāng) ???39。 例 )(xf 在 ? ?ba, 上連續(xù)，又在 ? ?cb, 上一致連續(xù)， cba ?? ，用定義證明： )(xf 在 ? ?ca, 上一致連續(xù) . 證： 由 )(xf 在 ? ?ba, 上一致連續(xù)，故 0??? ，存在 01?? 當(dāng) 1x ， ? ?bax ,2? ，且 121 ???xx 時(shí)，有 2)()( 21 ??? xfxf ① 同理， )(xf 在 ? ?cb, 上一致連續(xù)，對(duì)上述 0?? ，存在 02?? ， 當(dāng) ? ?cbxx , 43 ? ，且 243 ???xx 時(shí)，有 2)()( 43 ??? xfxf ② 令 ? ?21,min ??? ? ，則對(duì) 0?? ，當(dāng) ? ?caxx , 65 ? 且 ??? 65 xx 時(shí)， (1)若 ? ?baxx , 65 ? ，由①式有 ?? ??? 2)()( 65 xfxf . 南京師范大學(xué)泰州學(xué)院本科畢業(yè)論文 8 (2)若 ? ?cbxx , 65 ? ，由②式 也有 ??? )()( 65 xfxf . (3)若 ? ?bax ,5? ， ? ?cbx ,6? 時(shí)，則 ???bx5 ， ???bx6 所以 ??? ???????? 22)()()()()()(6565 xfbfbfxfxfxf. 從而得證 )(xf 在 ? ?ba, 上一致連續(xù)。 解 ： （ 1）若 ??? ???????? 212,1 :,0,0 xxIxx有 ,)()( 21 ??? xfxf 稱(chēng)函數(shù) )(xf在 I 上一致連續(xù)。 例 3.（ 1）敘述 )(xf 于區(qū)間 I 一致連續(xù)的定義 。39。 ????????? nnnnnxx 但 211)1()(039。39。,1139。 ?? nx ， ? ?1,0139。39。 xx 時(shí)，就有 ??? )()( 39。39。39。()( xxaxxxxxxxfxf ??????? ，取 ?? 2a? ，則對(duì)任意 ? ?,1, 39。 111)39。39。39。39。39。39。39。 證 ： （ 1） ,0??? 由于 39。 xfxf ，故函數(shù))0()( ??? abaxxf 在 ),( ???? 上一致連續(xù)。 xx ，就有 ??? )()( 39。 ?????xx ，只要 ??? 39。39。39。39。39。 例 ：函數(shù) )0()( ??? abaxxf 在 ),( ???? 上一致連續(xù)。 9. 函數(shù) )(xf 與 )(xg 都在 ],[ ba 上一致連續(xù)，則 )(xf ? )(xg ， )()( xgxf ? ，)( )(xgxf(有意義 )在 ],[ ba 上一致連續(xù)。 ()fx在區(qū)間 I 上非一致連續(xù)的充要條件是在 I 上存在兩個(gè)數(shù)列 nx? ， nx? ，使的 lim ( ) 0nnx xx??? ? ????，但當(dāng) n?? 時(shí) ， ? ?( ) ( ) 0f x f x? ????。 一致連續(xù)的性質(zhì) 1.（有界性定理） 若函數(shù) ()fx在閉區(qū)間 ? ?,ab 上連續(xù) ,則 ()fx在 ? ?,ab 上有界 2.（區(qū)間連續(xù)性）當(dāng)函數(shù) ()fx分別在區(qū)間 12,XX上一致連續(xù) ,且區(qū)間 1X的右端點(diǎn)為 1cX? ,區(qū)間
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