關(guān)于連續(xù)與一致連續(xù)畢業(yè)論文(文件)
【正文】 證 ： 0??? ，取 L??? ，則當(dāng) Ixx ?21, 且 ??? 21 xx 時(shí) ,)()(212139。 有限區(qū)間上函數(shù)的一致連續(xù)性及例題 南京師范大學(xué)泰州學(xué)院本科畢業(yè)論文 16 (一致連續(xù)性 ) 若 f 是有限閉區(qū)間 [ , ]ab 上的連續(xù)函數(shù) ,則 f 必在 [, ]ab 上一致連續(xù) . 證 :(利用有限閉區(qū)間的稠密性反證 ) 假定連續(xù)函數(shù) f 不一致連續(xù) ,即 0???和 {}nx ,{}ny ? [ , ]ab,使得 lim ( ) 0nnn xy?? ??,并且 ( ) ( )nnf x f y? ?? , n? ?? .取 {}nx 的一個(gè)子列 {}nkx 收斂于 0 [ , ]x a b? ,則 {}nky 也收斂于0 [ , ]x a b? ,從而 0 l i m ( ) ( ) 0nnkkn f x f y ???? ? ? ?,得到矛盾 .□ (最大值和最小值的可達(dá)性 ) 若 f 是 有限閉區(qū)間 [ , ]ab 上的連續(xù)函數(shù) ,則必00, [ , ]x y a b??,使得 0( ) m in ( )a x bf x f x???, 0( ) m ( )a x bf y ax f x???. 作為推論 ,f 在 [ , ]ab上有界 . 證 :( 利 用 有 限 閉 區(qū) 間 的 列 緊 性 ) 僅 證 最 小 值 的 可 達(dá) 性 . 令in f ([ , ])m f a b ???,由167。 xfx（常數(shù)或 ?? ） ,則 )(xf 在 ),[ ??a 一致連續(xù)的充要條件是 ? 為常數(shù) . 南京師范大學(xué)泰州學(xué)院本科畢業(yè)論文 18 例題 ：函數(shù) xxxf ln)( ? 在 ? ???,1 上一致連續(xù)。 ?? xx xxf ， ? ???? ,1x . 故 )(39。 xf 在 ? ???,1 上有界，設(shè) ? ????? ,1,)(39。 證 :（ 1）因?yàn)?)(xf 在 ? ?a,0 上連續(xù)，根據(jù) Cantor 定理知在 ? ?a,0 上一致連續(xù)； (2) 令 01,1, 39。lim xfx，證明： )(xf 在 ? ???，1 上非一致連續(xù) . 證：由 ?????? )(39。21 ?????? ??? xxfxfxf 。王老師指引我的論文的寫作的方向和框架，并對(duì)本論文初稿進(jìn)行逐字批閱，指出論文中需要修改的地方，使我有了思考的方向，他的循循善誘的教導(dǎo)和不拘一格的思路給予我無盡的啟迪，他的嚴(yán)謹(jǐn)細(xì)致、一絲不茍的作風(fēng)，將一直是我以后工作、學(xué)習(xí)中的榜樣。而每一篇好的論文又能為大家所分享和閱讀，這真是一種善緣，愿我們在這樣的關(guān)系中能成長和進(jìn)步。正是因?yàn)橛心銈?，才使得這篇論文能完整的呈現(xiàn)在這里，才能是自己完成了這個(gè)令人興奮的任務(wù)。 南京師范大學(xué)泰州學(xué)院本科畢業(yè)論文 20 謝 辭 論文得以完成，要感謝的人實(shí)在太多了。 ?? Mxf 。 ?????? nxxnnxnxnnnn但2121)()( 222 ????????? ???? nnnnxfxf nn ，所以 2x 在 ? ???,0 上非一致連續(xù)。21 ))(()()( ① 其中 ? 在 21,xx 之間， 由①式 xxxf ln)( ? 在 ? ???,1 上一致連續(xù)。 ????????????????? xxxxxxfxxxx. 12 2ln)( limlim 139。 ??? xxxf， ? ???? ,1x ， 04ln)(39。2(2 )()( 2121 xxfxfxf ??? )(,)2( xfIx ??? . 和 )(xf? 都存在 )3( 在 I 上處處擬可導(dǎo) ,且擬導(dǎo)數(shù)有界 . 則函數(shù) )(xf 在區(qū)間 I 上一致連續(xù) . 若函數(shù) )(xf 在區(qū)間 I 上滿 Lipschitz 條件 ,即存在常數(shù) 0?L ,使對(duì)任何 Ixx ?21, ,都有 2121 )()( xxLxfxf ??? ,則函數(shù) )(xf 在 區(qū)間 I 上一致連續(xù) . 在區(qū)間 I 上可導(dǎo) ,且 )(39。39。39。()( yfyf 。 證明 設(shè) 0?T 是一個(gè)周期，因?yàn)?)(xf 在 R上連續(xù)，且 )(xf 在 ? ?T2,0上連續(xù)，所以一致連續(xù)。39。 南京師范大學(xué)泰州學(xué)院本科畢業(yè)論文 15 綜上所述， )(xf 在 ),[ ??a 一致連續(xù)。 ?? Maxx ，一定得出 ??? |)39。39。39。39。| xx ， 有 ??? |)39。,39。 則 ?2|)(||)(||)()(||)()(| 212121 ?????????? AxfAxfxfAAxfxfxf 。 證明：由單調(diào)有界性知， )0(),0( ?? bfaf 存在，由 (3)知 )(xf 在 ),( ba一致連續(xù)。()39。39。39。 取 ??? * ，則當(dāng) ),(39。 2. 函數(shù) )(xf 在開區(qū)間 ),( ba 一致連續(xù) ? 函數(shù) )(xf 在開區(qū)間 ),( ba 連續(xù)，且 )0(),0( ?? bfaf 都存在。 |)()(| ??? kk nn xfxf （ 2） 現(xiàn)讓 (2)式中 ??k ，再由 f 在 ],[ ba 連續(xù)性知 039。 xxkn? ( ??k ) 。 同 時(shí) 也 有knn nxx kk1|| 39。 |)()(| ??? nn xfxf (1) 當(dāng) n取遍自然數(shù)時(shí)，得數(shù)列 ],[}{ 39。39。39。39。 baxx ? ，雖然 ??? |39。 南京師范大學(xué)泰州學(xué)院本科畢業(yè)論文 13 主要結(jié)論與證明 f 在閉區(qū)間 ],[ ba 上連續(xù)，則 f 在 ],[ ba 上一致連續(xù)。 再證必要性，由上題可證 )(lim0 xfax ??存在，類似上題可證 )(lim0 xfbx ??存在。 例 4．已知 )(xf 在 ? ?ba, 上連續(xù)，證明： )(lim xfax ??存在。39。39。 證 : 因?yàn)?Axfx ???? )(lim，由柯西準(zhǔn)則， 0,0 ???? M? 當(dāng) Mxx ?2,1 s時(shí)，有,)()( 21 ??? xfxf . a 又由于 )(xf 在 ? ?， 10 ?M 上連續(xù)，從而一致連續(xù)，故對(duì)上述00 1, ??? ?? ， ，當(dāng) ?43,xx ? ?， 10 ?M ，且 143 ???xx 時(shí)，有 ,)()( 43 ??? xfxf b 取 ? ?1,min 1?? ? 則 ? ????? ,0, 39。 解 ：（ 1） ? ?1,0,)( 3 ?? xxxf 在 ? ?1,0 內(nèi)連續(xù)，且 1,0)( 310 li mli m ?? ?? ?? xxf xx 即 1,0)( 310 li mli m ?? ?? ?? xxf xx都存在，故 )(xf 在 ? ?1,0 一致連續(xù)。 xgxgLxfxf ??? 成立，而 )(xg 在 X 上一致連續(xù)，則 )(xf 在 X上也一致連續(xù)。39。39。 2：函數(shù)在 ? ?b，? 上一致連續(xù)的充分條件是 )(xf在 ? ?b，? 上連續(xù)且 )(??f 存在。 2：函數(shù) )(xf 在 ? ?ba, 上一致連續(xù)的充分必要條件是 )(xf 在 ? ?ba, 上連續(xù)且 )( ?af 存在。 ,0??? 取 ?? 2
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