函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂判別法探究_畢業(yè)論文-文庫吧資料
2024-09-06 18:00本頁面
【正文】 n p n p n pk k k kk n k n k n k nu x u x u x u x? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? 001 1 1( ) ( ) ( )n p n p n pk k kk n k n k nu x u x u x? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? 2? ? ?? ? ? . 即1 ()nn ux???在 [, ]ab 上一致收斂 . 導(dǎo)數(shù)判別法 黃岡師范學(xué)院本科學(xué)位論文 [第 15 頁，共 15 頁 ] 下面 探討在函數(shù)列 { ()nux}可微條件下 ,當(dāng)1 ()nn ux???? 在 [, ]ab 上一致收斂時(shí) ,函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)1 ()nn ux???的一致收斂性 . 定理 設(shè)函數(shù)列 { ()nux}在閉區(qū)間 [, ]ab 上連續(xù) ,可微 ,且存在一點(diǎn)0x ? [, ]ab 收斂 ,使得1 ()nn ux???在點(diǎn) 0x 收斂；1 ()nn ux???? 在 [, ]ab 上一致 收斂；則函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)1 ()nn ux???在 [, ]ab 上一致收斂 . 證 已知1 ()nn ux???在點(diǎn) 0x ? [, ]ab 收斂 ,1 ()nn ux???? 在 [, ]ab 上一致收斂 ,即任意0?? ,存在 1()N? ,使得 1()nN?? 時(shí) ,對(duì)任意 pN?? ,有 01 ()npkkn ux ???? ??； 對(duì)任意 x? [, ]ab ,有 1 ()npkkn ux ????? ?? 根據(jù)拉格朗日中值定理 ,任意 nN?? ,任意 pN?? ,任意 x? [, ]ab ,有 001 1 1( ) ( ) ( )( )n p n p n pk k kk n k n k nu x u x u x x?? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ?? ? ? ()ba??? （ ? 介于 x 與 0x 之間） 于是任意 nN?? ,任意 pN?? ,任意 x? [, ]ab , 001 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )n p n p n p n pk k k kk n k n k n k nu x u x u x u x? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? 001 1 1( ) ( ) ( )n p n p n pk k kk n k n k nu x u x u x? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? XXXXXXX(論文題目 ) [第 16 頁，共 15 頁 ] ( ) ( 1 )b a b a? ? ?? ? ? ? ? ?. 即1 ()nn ux???在 [, ]ab 上一致收斂 . 點(diǎn)列判別法 下面 ,把1 ()nn ux???在點(diǎn)集 X 歸結(jié)到點(diǎn)列的情況下來確定函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性 . 定理 1 ()nn ux???在點(diǎn)集 X 上一致收斂于 ()Sx的充分必要條件是對(duì)任 點(diǎn)列 { nx } X? .都有 1lim ( ) ( ) 0nk n nn k u x S x?? ? ??? 證 ： 必要性 若1 ()nn ux???在點(diǎn)集 X 上一致收斂于 ()Sx,則 11( ) ( ) s u p ( ) ( ) 0nnkkxXkku x S x u x S x???? ? ? ???()n??. 于是對(duì)任意點(diǎn)列 {nx } X? ,都有 1 ( ) ( )nk n nk u x S x? ??? 1 ( ) ( )nkk u x S x? ??0? ()n?? . 充分性 （ 用反證法 ） 假設(shè)1 ()nn ux???在點(diǎn)集 X 上不一致收斂于()Sx,則 0 0???, N? , nN?? ,及 xX? ,使得 01 ( ) ( )nkk u x S x ?? ???.于是 ,取 1N? , 1 1n??與1nxX?,使1 1 1101 ( ) ( )nnnk n nk u x S x ?? ??? 黃岡師范學(xué)院本科學(xué)位論文 [第 17 頁，共 15 頁 ] 取 2N? , 21nn??與2nxX?,使222201 ( ) ( )nnnk n nk u x S x ?? ???； …… 取 Nm? , 1mmnn??? 與knxX?,使111101 ( ) ( )n m mmn mnk n nk u x S x ????? ???? ； …… . 這樣就得到一點(diǎn)列 {}knxX?,使 1lim ( ) ( ) 0nk n nn k u x S x?? ? ???,與已知條件相矛盾 . 4. 總結(jié) 本文介紹了多種判斷函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的方法，并對(duì)這些方法進(jìn)行了理論 上的證明，為我們處理函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 相關(guān)的問題提供了豐富的解決方法 . 參考文獻(xiàn) ： 1. 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系，數(shù)學(xué)分析（下） .高等教育出版社， 2020年 6月第三版 . 2. 劉玉 璉，傅沛仁，林玎 .數(shù)學(xué)分析講義 .高等教育出版社， 2020年 4月第二版 . 3. 鄧東皋，尹小玲 .數(shù)學(xué)分析簡明教程（下） .高等教育出版社， 2020年 3月第二版 . 。 (2) 若對(duì) ? xD? , ()px p1則函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) ???1 )(n n xu 在 D 上不一致收斂 。 定理 3 （余項(xiàng)判別法） 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) ()nux? 在數(shù)集 D 上一致收斂于 ()Sx的充要條件是 : l im s u p | ( ) | l im s u p | ( ) ( ) | 0nnnnx D x DR x S x S x? ? ? ???? ? ?. 定理 4 （ 狄利克雷判別法 ） （ 1） )(xun? 是部分和函數(shù) )()(1 xuxUnk kn ??? (n=1,2 )? 在 I 上一致有 界（ 2）對(duì)于每一個(gè) |)(|, xvIx n? 是單調(diào)的 （ 3）在 I 上 )(0)( ??? nxv n 則級(jí)數(shù)在 I 上一致收斂 證明 ： 由（ 1），存在正數(shù) M，對(duì)一切 x I? ,有 MxUn ?|)(| .因此當(dāng) n,p 為任意 正整數(shù)時(shí)， 都有 ： .2|)()(||)()(| 1 MxUxUxuxu npnpnn ????? ??? ? 對(duì)任何一個(gè) x I? ,再由（ 2）及阿貝爾引理，得到 |)()()()(| 11 xvxuxvxu pnpnnn ???? ?? ? |) .)(|2|)((|2 1 xvxvM pnn ?? ?? 再由（ 3），任給 ? 0,存在正數(shù) N，當(dāng) nN 時(shí)，對(duì)一切 x I? ,由 ,|)(| ??xvn 所 以 ??? MMxvxuxvxu pnpnnn 6)2(2|)()()()(| 11 ????? ???? ? 于是由一致收斂的 柯西準(zhǔn)則，級(jí)數(shù)在 I 上一致收斂 . （注意： 利用狄利克雷判別函數(shù)級(jí)數(shù)一致收斂時(shí)， 三個(gè)條件 都應(yīng)滿足 ） 同樣的
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