20xx數(shù)學(xué)分析中的一致收斂及其應(yīng)用初稿-文庫(kù)吧資料
2025-01-17 01:20本頁(yè)面
【正文】 2）在P1時(shí)收斂，在P1時(shí)發(fā)散。
解：研究反常積分，由于 當(dāng)P1時(shí)收斂，P1時(shí)發(fā)散。由反常積分在P1時(shí)收斂，p1時(shí)發(fā)散。
例20 討論P(yáng)級(jí)數(shù)的斂散性。于是根據(jù)Dirichlet判別法，即得所證。
證明： 首先，的部分和函數(shù)列在上是一致有界的。
根據(jù)Dirchlet判別法知，原級(jí)數(shù)在上一致收斂。
解:: 因而，級(jí)數(shù)的部分和函數(shù)列在上一致有界。
狄利克雷判別法 定理6 (Dirchlet判別法) 設(shè) (1) 的部分和函數(shù)列 ()在上一致有界； (2) 對(duì)于每一個(gè)是單調(diào)的； (3) 在上()。由阿貝爾判別法可知級(jí)數(shù)在上一致收斂。
證明：是數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，它的收斂性就意味著關(guān)于x的一致收斂性。
根據(jù)優(yōu)級(jí)數(shù)判別法，易知 由阿貝爾判別法，知原級(jí)數(shù)在上一致收斂。
證明 由（ⅰ），任給，存在某正整數(shù)，使得當(dāng)及任何正整數(shù)，對(duì)一切，有 又由（?。áⅲ┘鞍⒇悹栆淼玫? . 于是根據(jù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性的柯西準(zhǔn)則就得到本定理的結(jié)論. 例16 證明函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在上一致收斂。
證明: 對(duì)于, 存在收斂的正項(xiàng)級(jí)數(shù), 且 , 由推論10知函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在上是一致收斂的。
注意 我們知道廣義調(diào)和級(jí)數(shù), 當(dāng)時(shí)是收斂的, 故當(dāng)時(shí), 則有下列推論： 推論10 設(shè)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù), 若存在, ,則函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在區(qū)間一致收斂。
M判別法的推論 推論9 設(shè)有函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù), 存在一收斂的正項(xiàng)級(jí)數(shù)使得對(duì), 有(), 則函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在區(qū)間一致收斂。
(顯然, 當(dāng), 則為常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù), 則可判斷收斂)。
迫斂性判別法 定理 (迫斂性定理) 設(shè), 都有成立, 且 和在I上都一致收斂于, 則在I也一致收斂于。
例14 試證 在()內(nèi)一致收斂。則由定理12知原級(jí)數(shù)一致收斂于。
例13 證明 ()的一致收斂性。故原級(jí)數(shù)在上一致收斂。
例12 設(shè), , 證在上一致收斂。
證明: , 因?yàn)?, 所以由對(duì)數(shù)判別法知函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在上一致收斂。
對(duì)數(shù)判別法 定理 (對(duì)數(shù)判別法) 設(shè)為定義在數(shù)集Ｄ上的函數(shù)列, 若有存在, 對(duì) 則函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在Ｄ上一致收斂。
例10 判別函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在上的一致收斂性。
證明: 由一致收斂于 , 取, , 當(dāng)時(shí), 對(duì)一切有 , 所以 , 即 , 又因?yàn)?, 由M判別法知在上一致收斂。
證明: 設(shè)=, 因?yàn)?, 所以 由根式判別法可知函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在上一致收斂。
根式判別法 定理 (根式判別法) 設(shè)為定義在數(shù)集Ｄ上的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù), 若, 則函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在Ｄ上一致收斂。
例8 試證函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在 ()上一致收斂。
證明： ,而等比級(jí)數(shù)，當(dāng)公比時(shí)收斂，從而由函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的優(yōu)級(jí)數(shù)判別法知，在上一致收斂. 推論3 (比式判別法的極限形式) 設(shè)為定義在數(shù)集Ｄ上的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù), 記, 若, 且在Ｄ上一致有界, 則函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在Ｄ上一致收斂。因此,通過(guò)將比式判別法和根式判別法相結(jié)合,可以推出函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性的比式判別法和根式判別法,相應(yīng)的可以借用P級(jí)數(shù)的收斂性和優(yōu)級(jí)數(shù)判別法得到函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性的對(duì)數(shù)判別法。
定理 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在數(shù)集上一致收斂于的充要條件是： . 證明 必要性 因?yàn)樵趨^(qū)間上一致收斂,所以，使得當(dāng)時(shí)，對(duì)一切,都有，即，所以，所以. 充分性 設(shè)在上不一致收斂,即，,，使得 ，即，(李嵐，2020)[4]. 例6 若在上可積，且與在上都可積，設(shè)，則在上一致收斂于. 證明 ()， 所以利用定理1,當(dāng)時(shí)，一致收斂于. 例7 設(shè)，在上連續(xù)，又在收斂于連續(xù)函數(shù)，則在一致收斂于. 證明 已知（其中）是單調(diào)遞減且趨于0，所以，有，且，時(shí)，令，因?yàn)樵谏线B續(xù),既然，所以，. 如上所述,對(duì)每個(gè)點(diǎn)，可找到相應(yīng)的鄰域及相應(yīng)的,使得 時(shí)，對(duì)恒有. 如此構(gòu)成的一個(gè)開(kāi)覆蓋,，于是，總，使得當(dāng)時(shí)，取，那么當(dāng)時(shí)，恒有. 由定理2得，在一致收斂于. 類數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)判別法 通過(guò)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，我們同樣的可得到數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的很多特性,例如其收斂性等,可是函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在一直連續(xù)性上和數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)是有區(qū)別的，根據(jù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性一致收斂性判別法和函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性判別法，可以明顯看出,這兩者的判別方式十分相近，例如其命名方面,比如它們都有Cauchy判別法、Abel判別法、Dirichlete判別法等。
例5：設(shè)，在連續(xù)且在內(nèi)一致收斂，且由均收斂，證明上一致收斂。
存在，當(dāng)時(shí), 對(duì)一切， 都有成立。
注 用放大法判定函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性時(shí), 需要知道。
證明： 因, 故對(duì)任給的, (與無(wú)關(guān)), 使得當(dāng)時(shí), 對(duì)一切, 都有。易知，該點(diǎn)為函數(shù)于是：
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