20xx數(shù)學(xué)分析中的一致收斂及其應(yīng)用初稿-展示頁
2025-01-17 01:20本頁面
【正文】 故原級數(shù)在上一致收斂。因而。
例4 討論函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的一致收斂性。
證明：是任意閉區(qū)間的連續(xù)函數(shù)列, 且有 , , 由上述定理知, 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)在區(qū)間上一致收斂。
萊布尼茲判別法 定理2 若交錯(cuò)級數(shù)滿足下述兩個(gè)條件： 數(shù)列單調(diào)遞減；，則交錯(cuò)級數(shù)收斂。
證明： 由不等式可知對任意x,有。
M判別法 定理 (M判別法) 設(shè)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)定義在數(shù)集Ｄ上, 為收斂 的正項(xiàng)級數(shù), 若對一切, 有, , 則函數(shù)項(xiàng)級數(shù)在Ｄ上一致收斂。
2. 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)一致收斂性的基本判別法 定義判別法 例1 討論。
由于函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的一致收斂性是由它的部分和數(shù)列來確定, 所以可以根據(jù)函數(shù)列一致收斂性定義得到等價(jià)定義。
定義設(shè)是函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的部分和數(shù)列。若級數(shù)(3)發(fā)散，則稱級數(shù)(1)在點(diǎn)發(fā)散。稱 , , (2) 為函數(shù)項(xiàng)級數(shù)(1)的部分和函數(shù)列。本文結(jié)合上述文獻(xiàn), 總結(jié)出了函數(shù)項(xiàng)級數(shù)一致收斂的其它判別法, 如對數(shù)判別法, 導(dǎo)數(shù)判別法, M判別法的推論等, 并給出了一些判別法的證明, 此外也用一些例題驗(yàn)證它的可行性。 文獻(xiàn)[5][3]給出了函數(shù)項(xiàng)級數(shù)一致收斂的兩個(gè)充要條件: 柯西準(zhǔn)則, 余項(xiàng)定理, 并用上述方法判別一致收斂以及證明其它的一些定理。
文獻(xiàn)[1]討論了函數(shù)項(xiàng)級數(shù)一致收斂的基本判別法, 給出了一致收斂的定義和萊布尼茨判別法。
這些都要對函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂性提出更高的要求。函數(shù)項(xiàng)級數(shù)既可以被看作是對數(shù)項(xiàng)級數(shù)的推廣, 同時(shí)數(shù)項(xiàng)級數(shù)也可以看作是函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的一個(gè)特例, 它們在研究內(nèi)容上有許多相似之處。判別函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的一致收斂時(shí)，通常用到柯西準(zhǔn)則,M判別法，阿貝爾判別法，狄利克雷判別法，萊布尼茲判別法或者直接根據(jù)一致收斂的定義進(jìn)行判別。
關(guān)鍵詞：函數(shù)項(xiàng)級數(shù)；一致收斂性；判別法。本論文中提出了函數(shù)級數(shù)一致收斂的定義, 柯西一致收斂準(zhǔn)則, 魏爾斯特拉斯判別法(M判別法), 狄利克雷判別法, 阿貝爾判別法, 余項(xiàng)判別法, 積分判別法。數(shù)學(xué)分析中的一致收斂及其應(yīng)用初稿
目 錄 3 3 4 2. 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)一致收斂性的基本判別法 6 定義判別法 6 M判別法 6 萊布尼茲判別法 6 余項(xiàng)判別法 7 柯西準(zhǔn)則 8 類數(shù)項(xiàng)級數(shù)判別法的函數(shù)項(xiàng)級數(shù)判別法 10 比式判別法 10 根式判別法 12 對數(shù)判別法 13 導(dǎo)數(shù)判別法 13 連續(xù)性判別法 14 迫斂性判別法 15 M判別法的推論 15 3. 關(guān)于函數(shù)項(xiàng)級數(shù)一致收斂的三個(gè)重要判別法 16 阿貝爾判別法 16 狄利克雷判別法 17 積分判別法 19 4. 一致收斂的應(yīng)用 20 一致收斂在證明等式中的應(yīng)用 20 一致收斂在證明不等式中的應(yīng)用 20 一致收斂在計(jì)算極限中的應(yīng)用 22 一致收斂在求導(dǎo)中的應(yīng)用 22 一致收斂在概率組合計(jì)算中的應(yīng)用 23 一致收斂在近似計(jì)算中的應(yīng)用 24 一致收斂在計(jì)算積分中的應(yīng)用 24 總 結(jié) 26 參考文獻(xiàn) 27 致 謝 28 數(shù)學(xué)分析中的一致收斂及其應(yīng)用 摘 要 對函數(shù)列和函數(shù)項(xiàng)級數(shù)一致收斂性的研究，是為了解決函數(shù)列的極限函數(shù)和函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和函數(shù)的分析性質(zhì)。本文利用定義來簡單的介紹一致收斂性，利用柯西一致收斂準(zhǔn)則，證明函數(shù)項(xiàng)級數(shù)一致收斂的判別法。本文對函數(shù)項(xiàng)級數(shù)一致收斂的判別法進(jìn)行推廣, 主要?dú)w納總結(jié)出了對數(shù)判別法, 導(dǎo)數(shù)判別法, 連續(xù)性判別法, 逼斂性判別法以及M判別法的推論等幾種判別法, 同時(shí)并應(yīng)用函數(shù)項(xiàng)級數(shù)一致收斂的定義, 重要判別法及其一致收斂的應(yīng)用給出了論文中一些結(jié)論的證明。
引 言 一致收斂性是函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì), 有效地判別函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的一致收斂對進(jìn)一步研究函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的性質(zhì)起著重要的作用。
而本文在給出這些判別法的同時(shí)并對函數(shù)項(xiàng)級數(shù)一致收斂的定義，柯西判別法，M判別法，阿貝爾判別法，萊布尼茲判別法加以補(bǔ)充和推廣，從而給判別函數(shù)項(xiàng)級數(shù)一致收斂提供了方便。對于函數(shù)項(xiàng)級數(shù), 我們不僅要討論它在哪些點(diǎn)上收斂, 而且更重要的是要研究和函數(shù)所具有的解析性質(zhì). 比如能否由函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的每項(xiàng)連續(xù)、可積、可微, 判斷出和函數(shù)的連續(xù)性、可積性和可微性。
即函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的一致收斂性。 文獻(xiàn)[6][7][8]給出了函數(shù)項(xiàng)級數(shù)一致收斂的重要判別法, 如阿貝爾、狄利克雷以及積分判別法。 文獻(xiàn)[10]對該問題進(jìn)行了推廣, 得到了比試和根式判別法, 同時(shí)也有其它一些文獻(xiàn), 得到了一些其它的結(jié)論。
定義1 設(shè) 是一列定義在同一數(shù)集上的函數(shù)，稱為定義在上的函數(shù)列，也可簡單的寫作： 或，. 設(shè)，以代入可得數(shù)列 若數(shù)列收斂
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