迭代法及其收斂性ppt課件-文庫吧資料
2025-05-09 18:36本頁面
【正文】 *x )(xg 求 的零點就等價于求 的不動點，選擇一個 初始近似值 ，將它代入 ()右端，即可求得 )(xf )(x?0x).( 01 xgx ?如此反復(fù)迭代計算 ).,1,0()(1 ???? kxgx kk （ ） )(xg 稱為 迭代函數(shù) .如果對任何 ，由（ ）得到 的 迭代序列 有極限 ],[0 bax ?}{ kx.*lim xx kk ???則稱迭代方程 ()收斂，且 為 的不動點， 故稱（ ）為 不動點迭代法 . *)(* xgx ? )(xg 上述迭代法是一種 逐次逼近法 ，其基本思想是將隱式 方程（ ）歸結(jié)為一組顯式的計算公式（ ），就是說， 迭代過程實質(zhì)上是一個逐步顯示化的過程 . 方程 的求根問題在 平面上就是要確定曲 線 與直線 的交點 )( xgx ? xy)( xy ?? xy ? .*P 對于 的某個近似值 ，在曲線 上可確定 一點 ，它以 為橫坐標(biāo)，而縱坐標(biāo)則等于 *x 0x )( xgy ?0P 0x .)( 10 xxg ?過 引平行 軸的直線，設(shè)此 直線交 直線 于點 ， 然后過 再作平行于 軸的直線，它與曲線 的 交點記作 ，則點 的橫坐標(biāo)為 ，縱坐標(biāo)則等于 0P x xy ? 1Q1Q y )( xy ??1P 1P 1x ?)( 1x?.2x圖 12 例 1 求方程 01)( 3 ???? xxxf （ ） 在 附近的根 ?x .*x 解 設(shè)將方程（ ）改寫成下列形式 .13 ?? xx 按圖 12中箭頭所示的路徑繼續(xù)做下去，在曲線 上得到點列 ，其橫坐標(biāo)分別為依公式 求得的迭代值 )( xgy ??21, PP )(1 kk xgx ??., 21 ?xx據(jù)此建立迭代公式 如果點列 趨向于點 ，則相應(yīng)的迭代值 收斂 得到所求的根 }{ kP *P kx.*x27kkxkxk?表).,2,1,0(131 ????? kxx kk各步迭代的結(jié)果見表 . 如果僅取 6位數(shù)字，那么結(jié)果 與 完全相同，這時可 以認(rèn)為 實際上已滿足方程 ()，即為所求的根 . 7x 8x7x但若采用方程（ ）的另一種等價形式 13 ?? xx建立迭代公式 .131 ??? kk xx仍取迭代初值 ，則有 ?x., 21 ?? xx結(jié)果會越來越大，不可能趨于某個極限 . 這種不收斂的迭 代過程稱作是 發(fā)散 的 . 一個發(fā)散的迭代過程，縱使進(jìn)行了 千百次迭代，其結(jié)果也是毫無價值的 . x y y = x x y y = x x y y = x x y y = x x* x* x* x* y= ?(x) y= ?(x) y= ?(x) y=?(x) x0 p0 x1 p1 x0 p0 x1 p1 ? x0 p0 x1 p1 ? x0 p0 x1 p1 ? x2 ? 不動點的存在性與迭代法的收斂性 首先考察 在 上不動點的存在唯一性 . ],[ ba)(xg定理 1 設(shè) 滿足以下兩個條件： ],[)( baCxg ?1176。數(shù)值計算方法 對于一般的非線性方程 ,沒有通常所說的求根公式求其精確解 ,需要設(shè)計近似求解方法 ,即 迭代法 。它是一種逐次逼近的方法 ,用某個固定公式反復(fù)校正根的近似值 ,使之逐步精確化，最后得到滿足精度要求的結(jié)果。 映內(nèi)性 對任意 有 ],[ bax ? bxga ?? )(2176。壓 縮 系 數(shù) 李 普 希 茲 常 數(shù)( ) [ , ] .g x a b x ?則 函 數(shù) 在 上 存 在 的 不 動 點唯 一 證明 先證不動點存在性 . 若 或 ，顯然 在 上存在 不動點 . aag ?)( bbg ?)( )(xg ],[ ba 因 ，以下設(shè) 及 ，定 bxga ?? )( aag ?)( bbg ?)(義函數(shù) .)()( xxgxf ??顯然
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