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迭代法及其收斂性ppt課件(留存版)

2025-06-17 18:36上一頁面

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【正文】 ,存在 的某個鄰域 ,使對于任意 成立 *x??? *: xxR Rx?.1)( ??? Lx?此外,對于任意 ,總有 ,這是因為 Rx? Rx ?)(?.***)()(*)( xxxxLxxxx ??????? ???于是依據(jù)定理 對于任意 初值 均收斂 . )(1 kk xx ???Rx ?0證畢 . 解 這里 ,可改寫為各種不同的等價形 式 ,其不動點為 由此構(gòu)造不同的迭代法: 3)( 2 ?? xxf)(xgx ? .3* ?x.1132)3(*)(,12)( ????????? gxgxxg 例 用不同方法求方程 的根 032 ??x .3* ?x 討論迭代序列的收斂速度 . ,3)(,3)1( 221 ??????? xxxgxxx kkk.1*)(,3)( 2 ?????? xgxxg,3)(,3)2( 1 xxgxxkk ???. 31*)(,211)( ???????? xgxxg.0)3(*)(),31(21)( 2 ??????? ?xgxxg取 ,對上述 4種迭代法,計算三步所得的結(jié)果如下表 . 20 ?x),3(21)(),3(21)4( 1 xxxgxxxkkk ?????),3(41)(),3(41)3( 221 ??????? xxxgxxx kkk??????732 732 22220)4()3()2()1(373210xxxxxkk迭代法迭代法迭代法迭代法計算結(jié)果表 ? 注意 ,從計算結(jié)果看到迭代法( 1) 及( 2)均不收斂,且它們均不滿足定理 3中的局部收斂條 件,迭代法( 3)和( 4)均滿足局部收斂條件,且迭代法 ( 4)比( 3)收斂快,因在迭代法( 4)中 . ?7 3 2 0 5 0 ?0*)( ?? xg 定義 設(shè)迭代過程 收斂于方程 的根 ,如果迭代誤差 當(dāng) 時成立下列 漸近關(guān)系式 )(1 kk xgx ?? )(xgx ?*x *xxe kk ?? ??k),1,0(1 ???? pCCee pkk 常數(shù)則稱該迭代過程是 階收斂 的 ,C為 漸進(jìn)誤差常數(shù) .特別地 , 時稱 線性收斂 , 時稱 超線性收斂 , 時稱 平方收斂 . p1?p 1?p2?p111: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), l im l im ( ) ( ).k k k k k k kkkkkkkke x x g x g x g x x g exxeg g xe????? ? ??????? ? ? ???? ? ? ? ? ? ?????由 微 分 中 值 定 理 可 得其 中 在 與 之 間 再 由 局 部 收 斂 可 知故 迭 代 格 式 是 線 性 收 斂 的證 明 ( ), ( ) 0 ( ( ) 0 ( ) 1 ) ,.gxg x g x g x? ? ?? ? ?? ? ?若 迭 代 函 數(shù) 除 了 滿 足 上 述 定 理 的 條 件之 外 還 滿 足 即 滿 足 則 迭 代 格式 是 線 性 收 斂 的推 論 ()( 1 ) ( )()1 ( ) , 1 , ( ),( * ) ( * ) ( * ) 0 , ( * ) 0 , ( 2 .8 )() l im!ppppkkkx g x p g x xxpg x g x g x g xe gxep?????????? ??? ? ? ? ??設(shè) 是 迭 代 函 數(shù) 的 不 動 點 整 數(shù) 在的 鄰 域 上 連 續(xù) 則 迭 代 格 式 在 的 鄰 域 上 是 階 收 斂 的 充 分 必要 條 件 為且 有定 理 證明 先證充分性 由于 ,據(jù)定理 即 可以斷定迭代過程 具有局部收斂性 .
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