數(shù)學(xué)分析習(xí)題解答-資料下載頁
2025-01-14 03:11本頁面
【正文】 □２７．證明：若在上可導(dǎo)，且與都收斂，則必有．證 因收斂，故極限存在．再由收斂，根據(jù) 例１（５），知道． □２８．證明：設(shè)為條件收斂．證明：（１）都發(fā)散；（２）．證?。ǎ保┨热羰諗?，則也收斂，這與為條件收斂的假設(shè)相矛盾． （２）由于， （Ｆ）而由（１）知，又由條件知，因此當(dāng)時(shí)，式（Ｆ）右邊第二項(xiàng)的極限等于０，故左邊的極限等于１． □２9．設(shè)在任何有限區(qū)間上都可積，且滿足．證明：（１） 若與都收斂，則也收斂；（２）又若，則．證?。ǎ保┯蓷l件知，并收斂，故由比較法則推知收斂．再由收斂，證得也收斂．（２） 又因，所以由極限的迫斂性，證得． □30．證明：若在上為單調(diào)有界的連續(xù)可微函數(shù)，則必定絕對收斂；證 因單調(diào)（不妨設(shè)為遞增），故；又有界，故存在．由比較法則，因，而連續(xù)，故（ 收斂 ），所以絕對收斂． □３１．討論下列反常積分的斂、散性：（１）； ?。ǎ玻?；（３）； ?。ǎ矗狻。ǎ保┯捎?，而，故由比較法則推知發(fā)散．（２）由于，而當(dāng)時(shí)單調(diào)趨于０，因此根據(jù)狄利克雷判別法推知收斂．又因，而發(fā)散，收斂，故發(fā)散，于是導(dǎo)致也發(fā)散．所以，為條件收斂．（３）因?yàn)椋杂袃蓚€(gè)瑕點(diǎn)．為此需化為兩個(gè)瑕積分：．對于，由于，因此為收斂；對于，則因，故為發(fā)散．所以瑕積分為發(fā)散．（４）作變換，把瑕積分化為無窮積分：，此前已知它是一個(gè)條件收斂的反常積分． □３２．證明下列不等式：（１）；（２）．證 （１）由于時(shí)，有，而，因此所證不等式成立．（２） 由于而，因此所證不等式 成立． □60
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