數(shù)學(xué)分析研究論文(編輯修改稿)
2024-09-01 07:24 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 極值的充分條件判別極值點時，常用列表法?！ ?.第二充分條件設(shè)函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)一階可導(dǎo)，在點二階可導(dǎo)，且，則 證明:由二階泰勒公式得=,所以 二元極值判別條件(1)必要條件設(shè)函數(shù)在點具有偏導(dǎo)數(shù)，且在點處有極值，則它在該點處偏導(dǎo)數(shù)必然為零．有。(2) 充分條件設(shè)函數(shù)在點的某領(lǐng)域連續(xù)，有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)又，令，．則在點處是否取得極值的條件如下： (i)時具有極值，當(dāng)Ａ＞０時具有極大值，當(dāng)Ａ＜０時具有極小值； (ii)時沒有極值。 (iii)時可能有極值，也可能沒有極值。 極值應(yīng)用實例 前面介紹了極值和極值的判別，那到具體的應(yīng)用中如何應(yīng)用呢？理論要結(jié)合實踐，那么我們結(jié)合一些經(jīng)典題型說說到底如何求解極值的問題，來說明其方法和技巧． 極值的第一充分條件(列表法) 求函數(shù)的極值點與極值。 解:函數(shù) 當(dāng)可見列表如下:(0,1)++單調(diào)性↑ ↓↑所以x=0為極大值點，極大值為0，x=1為極小點，極小值為3(如圖1)３－３圖(1) 極值的第二充分條件 求函數(shù)解:函數(shù)定義域為令x=6,如果當(dāng) 極值的第一充分條件和極值的第二充分條件 求函數(shù)解:,得又有。再 極值的第一充分條件 由一寬為的長方形鐵板，把它兩邊折起來做成一斷面為等腰梯形的水槽，問怎樣折法才能使斷面的面積最大？ 解: 設(shè)折起來的邊長為，傾斜角為，那么梯形斷面的下底長為，上底長為，高為，則斷面面積 即 ，D：，下面是求二元函數(shù)在區(qū)域：，上取得最大值的點。令 由于，上式為將代入（2）式得，再求出，則有，于是方程組的解是， 在考慮邊界，當(dāng)時，函數(shù)為的一元函數(shù)，求最值點，由，得 。所以。根據(jù)題意可知斷面面積的最大值一定存在，并且在區(qū)域：，內(nèi)取得，通過計算得知時的函數(shù)值比，時函數(shù)值為小，又函數(shù)在內(nèi)只有一個駐點，因此可以斷定，當(dāng)，時，就能使斷面的面積最大。 偏導(dǎo)數(shù)法 某公司可通過電臺和報紙兩種方式做銷售某種商品的廣告．根據(jù)統(tǒng)計資料，銷售收入（萬元）與電臺廣告費用（萬元）及報紙廣告費（萬元）之間的關(guān)系有如下經(jīng)驗公式： ,廣告費用無限的情況下，求最優(yōu)廣告策略，使所獲利潤最大。解: 利潤等于收入與費用之差，利潤函數(shù)為： 根據(jù)極值存在的必要條件，令 得，即為駐點，利潤函數(shù)在駐點處的Hesinn矩陣，易驗證Hesinn矩陣為負(fù)定矩陣，所以在駐點處達(dá)到極大值，也是最大值，即最優(yōu)廣告策略為：電臺廣告費用和報紙廣告費用分別為萬元和萬元，此時可獲得最大利潤。 條件極值拉格朗日數(shù)乘法 用條件極值的方法，把問題轉(zhuǎn)化為無條件極值，正確寫出目標(biāo)函數(shù)和約束條件?！ ?經(jīng)過點(1,1,1)的所有平面中，哪一個平面與坐標(biāo)面在第一卦限所圍的立體的體積最?。⑶蟠俗钚◇w積．解:設(shè)所求平面方程為： 因為平面過點(1,1,1),所以該點坐標(biāo)滿足此平面方程，即有(1)設(shè)所求平面與三個坐標(biāo)平面所圍立體的體積為v,則 (2)原問題化為目標(biāo)函數(shù)(2)在約束條件(1)下的最小值，作拉格朗日函數(shù)求函數(shù)L的各個偏導(dǎo)數(shù)，并令他們?yōu)?,得方程組:解方程組得a=b=c=3,由于最小體積存在，函數(shù)又有唯一的駐點，故a=b=c=3為所求，即平面為：x+y+z=1,與坐標(biāo)面在第一卦限所圍物體的體積最?。钚◇w積為。 均值不等式法 用均值不等式求解問題的極值時，一定要注意自變量的要求：一正，二定，三能等的關(guān)系。 當(dāng)x為何值時，函數(shù)y=取得極值。 解: 式子兩邊都是非負(fù)數(shù)，分別去算術(shù)平均根，得 配方法用配方法求解極值問題，可以將整個函數(shù)的極值問題轉(zhuǎn)化為局部函數(shù)的最值問題來求解，使問題更加簡單化。 求函數(shù)解:令 取最大值 求極值思想方法總結(jié). (1)求解函數(shù)極值的問題，由以上的例題求解一元函數(shù)，二元函數(shù),以及多元函數(shù)極值的解答方法來看，求取極值的方法很多，但一般極值問題能用多種方法求解，具體極值問題得看具體情況，可以根據(jù)自己對方法掌握的程度來選擇，由于求解極值的方法很多，我這里只是其中一部分，大多數(shù)的思想一致，少數(shù)思想比較特別。通過前面的應(yīng)用實例，不難看出求一元函數(shù)，二元函數(shù)，以及多元函數(shù)極值的思想和方法．．．．．． 2 函數(shù)最值 最值概述.提到函數(shù)，就不難會想到函數(shù)的有界性、單調(diào)性、奇偶性、周期性、連續(xù)性、可導(dǎo)性等等，下面就對此進(jìn)行簡單說說． 函數(shù)最值的定義一般地，若一元函數(shù)在閉區(qū)間上[a,b]上連續(xù)，則函數(shù)在該區(qū)間上必取得最大值和最小值，函數(shù)的最大(小)值與函數(shù)的極值是有區(qū)別的，前者是指整個區(qū)間[a,b]所有函數(shù)值中的最大(小)值，因此最大(小)值是全局概念。但如果函數(shù)的最大(小)值在區(qū)間(a,b)取得，那么函數(shù)的最大(小)值也是極大(小)值。一般地，對二元函數(shù)的最值問題定義而言，與一元函數(shù)類似，我們可以利用函數(shù)的極值來求函數(shù)的最值。若函數(shù)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，則在D上必取得最值，且函數(shù)最
環(huán)評公示相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號-1