數(shù)學(xué)分析研究論文-在線瀏覽
2024-09-15 07:24本頁(yè)面
【正文】 1 函數(shù)極值 極值概述 函數(shù)極值的引入什么叫極值？在詮釋這個(gè)概念之前我們引入一個(gè)定理－－費(fèi)爾馬定理，下面給出他的定義：（１） 若函數(shù)在的某鄰域內(nèi)滿足： 則稱函數(shù)在點(diǎn)取極大值，點(diǎn)稱為極大值點(diǎn)．（２） 若函數(shù)在的某鄰域內(nèi)滿足： 則稱函數(shù)在點(diǎn)取極小值，點(diǎn)稱為極小值點(diǎn)．圖１ 極大值與極小值統(tǒng)稱為極值，極值是函數(shù)的局部性質(zhì)，即在某鄰域內(nèi)作比較而獲得，而且曲線在極值點(diǎn)的切線是一條水平線如圖１，這就是費(fèi)爾馬定理． 費(fèi)爾馬定理簡(jiǎn)單的描述就是：若函數(shù)在點(diǎn)的某領(lǐng)域內(nèi)有定義，且在點(diǎn)可導(dǎo)，則點(diǎn)為極值點(diǎn)．他的實(shí)質(zhì)就是可導(dǎo)與極值點(diǎn)的必要條件是穩(wěn)定點(diǎn)，但非充分。而是極大值還是極小值呢？現(xiàn)在從圖2可以得到如下結(jié)論．(1)在內(nèi)，；在內(nèi)時(shí)，此時(shí)為極小值．圖２(2)在內(nèi)，；在內(nèi)時(shí)，此時(shí)為極大值． 二元函數(shù)的極值 定義：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某領(lǐng)域內(nèi)有定義，對(duì)于該領(lǐng)域內(nèi)異于的點(diǎn)，若滿足不等式，則稱函數(shù)在有極大值；若滿足不等式，則稱函數(shù)在有極小值，極大值和極小值統(tǒng)稱極值，使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn)。一般地，用極值的充分條件判別極值點(diǎn)時(shí)，常用列表法。(2) 充分條件設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某領(lǐng)域連續(xù)，有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)又，令，．則在點(diǎn)處是否取得極值的條件如下： (i)時(shí)具有極值，當(dāng)Ａ＞０時(shí)具有極大值，當(dāng)Ａ＜０時(shí)具有極小值； (ii)時(shí)沒(méi)有極值。 極值應(yīng)用實(shí)例 前面介紹了極值和極值的判別，那到具體的應(yīng)用中如何應(yīng)用呢？理論要結(jié)合實(shí)踐，那么我們結(jié)合一些經(jīng)典題型說(shuō)說(shuō)到底如何求解極值的問(wèn)題，來(lái)說(shuō)明其方法和技巧． 極值的第一充分條件(列表法) 求函數(shù)的極值點(diǎn)與極值。再 極值的第一充分條件 由一寬為的長(zhǎng)方形鐵板，把它兩邊折起來(lái)做成一斷面為等腰梯形的水槽，問(wèn)怎樣折法才能使斷面的面積最大？ 解: 設(shè)折起來(lái)的邊長(zhǎng)為，傾斜角為，那么梯形斷面的下底長(zhǎng)為，上底長(zhǎng)為，高為，則斷面面積 即 ，D：，下面是求二元函數(shù)在區(qū)域：，上取得最大值的點(diǎn)。所以。 偏導(dǎo)數(shù)法 某公司可通過(guò)電臺(tái)和報(bào)紙兩種方式做銷售某種商品的廣告．根據(jù)統(tǒng)計(jì)資料，銷售收入（萬(wàn)元）與電臺(tái)廣告費(fèi)用（萬(wàn)元）及報(bào)紙廣告費(fèi)（萬(wàn)元）之間的關(guān)系有如下經(jīng)驗(yàn)公式： ,廣告費(fèi)用無(wú)限的情況下，求最優(yōu)廣告策略，使所獲利潤(rùn)最大。 條件極值拉格朗日數(shù)乘法 用條件極值的方法，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為無(wú)條件極值，正確寫(xiě)出目標(biāo)函數(shù)和約束條件。 均值不等式法 用均值不等式求解問(wèn)題的極值時(shí)，一定要注意自變量的要求：一正，二定，三能等的關(guān)系。 解: 式子兩邊都是非負(fù)數(shù)，分別去算術(shù)平均根，得 配方法用配方法求解極值問(wèn)題，可以將整個(gè)函數(shù)的極值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為局部函數(shù)的最值問(wèn)題來(lái)求解，使問(wèn)題更加簡(jiǎn)單化。通過(guò)前面的應(yīng)用實(shí)例，不難看出求一元函數(shù)，二元函數(shù)，以及多元函數(shù)極值的思想和方法．．．．．． 2 函數(shù)最值 最值概述.提到函數(shù)，就不難會(huì)想到函數(shù)的有界性、單調(diào)性、奇偶性、周期性、連續(xù)性、可導(dǎo)性等等，下面就對(duì)此進(jìn)行簡(jiǎn)單說(shuō)說(shuō)． 函數(shù)最值的定義一般地，若一元函數(shù)在閉區(qū)間上[a,b]上連續(xù)，則函數(shù)在該區(qū)間上必取得最大值和最小值，函數(shù)的最大(小)值與函數(shù)的極值是有區(qū)別的，前者是指整個(gè)區(qū)間[a,b]所有函數(shù)值中的最大(小)值，因此最大(小)值是全局概念。一般地，對(duì)二元函數(shù)的最值問(wèn)題定義而言，與一元函數(shù)類似，我們可以利用函數(shù)的極值來(lái)求函數(shù)的最值。因此只需求出在這個(gè)駐點(diǎn)或不可導(dǎo)點(diǎn)的函數(shù)值及在邊界點(diǎn)上的最值。 初等函數(shù)與性質(zhì) 有界性函數(shù)的值域有上界稱為函數(shù)的上界，有下界稱為函數(shù)下界，函數(shù)值域有界稱為函數(shù)有界．定義：設(shè)是定義在上的函數(shù)，是的子集，如果存在數(shù)，使得對(duì)于中的任意，則稱在上有界． 單調(diào)性如圖１，當(dāng)由小到大的變化時(shí)，函數(shù)值增加，而由大到小時(shí)，函數(shù)減?。甇y圖１定義：設(shè)是定義在上的函數(shù)，是的子集，如果對(duì)于中任意兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，則稱在上單調(diào)增，相反，單調(diào)減． 奇偶性 為奇函數(shù)，其圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱． 為偶函數(shù)，其圖像關(guān)于軸對(duì)稱． 周期性在上，為周期函數(shù) ，則k為的一個(gè)周期，顯然周期并不唯一． 可導(dǎo)與連續(xù)若函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)，則在點(diǎn)連續(xù)由此，可據(jù)函數(shù)的可導(dǎo)求極值點(diǎn)，進(jìn)而討論函數(shù)最值． 6種基本初等函數(shù) 常數(shù)函數(shù)．定義域?yàn)?，圖像平行于x軸． 冪函數(shù)． 指數(shù)函數(shù)，（）．奇圖像如圖2 圖2１圖3 對(duì)數(shù)函數(shù)，（）．圖像如圖3 三角函數(shù) 余弦函數(shù)y=cosx正弦函數(shù)y=sinx余切函數(shù)y=cotx正切函數(shù)y=tanx 反三角函數(shù)．反余
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