【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 分概念 : 若 在點(diǎn) 的某鄰域內(nèi)可導(dǎo)，則有 f(x)= f(x) 0xf + )())(( 000 xxxxxf ???? ?f(x) 即 從而在點(diǎn) 的某鄰域內(nèi)， ?0xf )( 0x + ))(( 00 xxxf ??上式表明，如果我們用關(guān)于 的一次多項(xiàng)式作為 的函數(shù)值，則其誤差是關(guān)于 的一個(gè)高階無窮小 . 0xx?0xx?f(x)近似公式有兩點(diǎn)不足 : (1) 精度不高； (2) 沒有誤差估計(jì)式 . 返回 上頁 下頁 于是，設(shè)想用一個(gè)關(guān)于 的 n次多項(xiàng)式 與一個(gè)關(guān)于 的高階無窮小來表達(dá)函數(shù) ，即使 0xx?nnn xxaxxaxxaaxp )()()()( 0202022 ???????? ?nxx )( 0? f(x) f(x)= nnn xxxxaxxaxxaa )()()()( 00202022 ????????? ??英國(guó)數(shù)學(xué)家泰勒提出并證明了上述設(shè)想的正確性 . 顯然 )(00 xfa ? )(, 01 xfa ??!2)(, 02xfa ???如此下去，有 ?,2,1,0! )( 0)(?? kk xfakk返回 上頁 下頁 nnnxxnxfxxxfxxxfxfxp)(!)( )(!2)()(!1)()()(00)(200000????????????從而有 返回 上頁 下頁 泰勒 (Ta ylor) 中值定理 如果函數(shù) )( xf 在含有0x 的某個(gè)開區(qū)間 ),( ba 內(nèi)具有直到 )1( ?n 階的導(dǎo)數(shù) , 則當(dāng) x 在 ),( ba內(nèi)時(shí) , )( xf 可以表示為 )(0xx ? 的一個(gè) n 次多項(xiàng)式與一個(gè)余項(xiàng) )( xRn之和 : )()(!)()(!2)())(()()(00)(200000xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn?????????????其中 10)1()()!1()()( ?? ??? nnn xxnfxR ? ( ? 在0x 與 x 之間 ) . 返回 上頁 下頁 )()(!)()(!2)())(()()(00)(200000xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn?????????????為函數(shù) 在點(diǎn) 處的 n階泰勒公式 . f(x)0xx ? 10( 1 ) !nM xxn???≤ 0 0()lim()nnxxRxxx? ?0x nR0()nxx?nR 0()nxx?而且 從而當(dāng) x→ 時(shí)， (x)是關(guān)于 的高階無窮小， (x)?o( ） ,稱這種形式的余項(xiàng)為 皮亞諾余項(xiàng) np( )作為 的近似值， 由此可見，如果我們用 x 則其誤差有估計(jì)式 f(x)()nRx稱 =0， 于是余項(xiàng)又可以表示為 返回 上頁 下頁 稱為 拉格朗日型余項(xiàng) ? ? )()(!1)()(010)1(之間與在余項(xiàng) xxxxnfxR nnn ?? ?? ???特別地，當(dāng) 0x?0時(shí)的泰勒公式，又稱為 馬克勞林 公式： 39。39。(0)2!f 2x ()(0)!nnf xn( 1 )1()( 1) !nnf xn?? ?? +? + (ξ在 0與 之間 )， + x xx39。39。(0)2!f 2x ()(0)!nnf xnnx＋ ? ＋ +o( )． x xf( )=f(0)+f′(0) + 或 f( )=f(0)+f′(0) + 返回 上頁 下頁 039。39。( )2!fx 2x () (0)!nnf xn( 1 )1()( 1 ) !nnfx xn?? ??具有拉格朗日型余項(xiàng)的馬克勞林公式也可寫成： +? + + (0＜ θ＜ 1)． f(x)= f(0)+f′(0)x+ 二、 返回 上頁 下頁 exe例 1 寫出函數(shù) 的 n階馬克勞林公式，并利用 f(x)= 三階馬克勞林多項(xiàng)式計(jì)算 ex ()nf ex( 1 ) ()nfx? ex解 由 ,? ， ， ? , f′（ x)= (x)= ()nf ( 1)nf ? (ξ)? ． f(0)=1,f′（ 0)=1,… ， ?e于是得 ex 的馬克勞林公式為 ex 22!x!nxn1e( 1)!nxn??? +? + + （ 0)=1, =1+x+ (ξ在 0與 x之間 )， ex 22!x!nxn+? + ， ≈1+x+ 誤差為 因此 1e()( 1 ) !xnnR x xn????返回 上頁 下頁 12,n?3,則 取 x= e 12 13! 21()213!31()2 ≈1+ + ＋ ≈1． 6458， 其誤差 11224443 41 e 1 e 1 3 1 1 . 8 1( ) ( ) ( ) ( )2 4 ! 2 4 ! 2 4 ! 2 4 ! 2R?? ? ? ?＜ ＜ ?5 310?． 返回 上頁 下頁 例 2 寫出函數(shù) f(x)=sinx的 n 返回 上頁 下頁 (1 )x ?? ?? ? 2(1 ) ax ??()nf ( ( 1) ， ? ， （ x） ? ， 例 3 求函數(shù) f(x)= 為任意實(shí)數(shù) )在 x=0點(diǎn)的泰勒公式． 1)1)(1()1( ????? ???? xn?于是有 ?? ?? ? ( ( ?1)? ( ?n+1),? f(0)=1, f′(0)= ,f″(0)= (0)= (1 )x ??從而得 f(x)= 在 x=0點(diǎn)的泰勒公式為 (1 )x ?? ? ( 1)2!??? 2x ( 1 ) ( 1 )!nn? ? ?? ? ?nx ?1+ +? ＋ +o( )． x+ nx?(1 ) nx? 2( 1)2!nn x? 1nnx? nx特別地，當(dāng) ?n(正整數(shù) )時(shí)，有 ＋ … ＋ + . =1+nx+ ? 1(1 )x ? ??解 由于 f′(x)= ， f″(x)= 1),… ， ?()nf返回 上頁 下頁 常用函數(shù)的麥克勞林公式 )()!12()1(!5!3s in221253??????????nnnxonxxxxx ?)()!2()1(!6!4!21c o s22642nnnxonxxxxx ???????? ?)(1)1(32)1ln (1132???????????nnnxonxxxxx ?)(1112 nnxoxxxx????????)(!)1()1(!2)1(1)1(2nnmxoxnnmmmxmmmxx?????????????返回 上頁 下頁 xyo)( xfy ?xyo)( xfy ?a bAB0)( ?? xf 0)( ?? xf定理 .],[)(0)(),()2(],[)(0)(),(1.),(],[)(上單調(diào)減少在那末函數(shù)，內(nèi)如果在上單調(diào)增加；在，那末函數(shù)內(nèi)如果在）（導(dǎo)內(nèi)可上連續(xù)，在在設(shè)函數(shù)baxfyxfbabaxfyxfbababaxfy???????a bBA一、單調(diào)性的判別法 第四節(jié) 函數(shù)的單調(diào)性與極值 返回 上頁 下頁 證 對(duì)任意 x1 , x2 ∈ [a,b], 設(shè) x1 x2 ,由拉格朗日中值定理 ))(()()( 1212 xxfxfxf ???? ?由 f?(x) ＞ 0,得 f?(?) ＞ 0,故 f(x2 )＞ f(x1),(1)得證 .類似地可證 (2). 返回 上頁 下頁 證 因 sinx∈ ( [? /2, ? /2]), (sinx)?=cosx0, x∈ ( ? /2, ? /2), 所以 y=sinx在 [ ? /2, ? /2]上嚴(yán)格單調(diào)增加 . 例 1 證明 y=sinx 在 [?/2, ? /2]上嚴(yán)格單調(diào)增加 . 返回 上頁 下頁 例 2 解 .1 的單調(diào)性討論函數(shù) ??? xey x.1??? xey?,)0,( 內(nèi)在 ?? ,0??y函數(shù)單調(diào)減少；?,),0( 內(nèi)在 ?? ,0??y .函數(shù)單調(diào)增加?).,(: ????D?又返回 上頁 下頁 上例中，函數(shù)在定義區(qū)間上不是單調(diào)的，但在各個(gè)部分區(qū)間上單調(diào)． 定義 :若函數(shù)在其定義域的某個(gè)區(qū)間內(nèi)是單調(diào)的，則該區(qū)間稱為函數(shù)的 單調(diào)區(qū)間 . 導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)，可能是單調(diào)區(qū)間的 分界點(diǎn) ． 方法 : .,)()(0)(數(shù)的符號(hào)然后判斷區(qū)間內(nèi)導(dǎo)的定義區(qū)間來劃分函數(shù)不存在的點(diǎn)的根及用方程xfxfxf ???二、單調(diào)區(qū)間求法 返回 上頁 下頁 例 3 解 .31292)( 23的單調(diào)區(qū)間確定函數(shù)????xxxxf).,(: ????D?12186)( 2 ???? xxxf )2)(1(6 ??? xx得，解方程 0)( ?? xf .2,1 21 ?? xx時(shí)，當(dāng) 1???? x ,0)( ??f 上單調(diào)增加；在 ]1,( ???時(shí)，當(dāng) 21 ?? x ,0)( ?? xf 上單調(diào)減少；在 ]2,1[?時(shí)，當(dāng) ???? x2 ,0)( ?? xf 上單調(diào)增加；在 ),2[ ???單調(diào)遞增區(qū)間為 ，]1,(?? ，]2,1[).,2[ ?? 單調(diào)遞減區(qū)間為 返回 上頁 下頁 例 4 解 .)( 3 2 的單調(diào)區(qū)間確定函數(shù) xxf ?).,(: ????D?)0(,3 2)( 3 ??? xxxf.,0 導(dǎo)數(shù)不存在時(shí)當(dāng) ?x時(shí)，當(dāng) 0???? x,0)( ?? xf 上單調(diào)增加；在 ),0[ ??? 時(shí)，當(dāng) ???? x0,0)( ?? xf 上單調(diào)減少；在 ]0,( ???單調(diào)遞減區(qū)間為 ，]0,(?? ).,0[ ??3 2xy ?單調(diào)遞增區(qū)間為 返回 上頁 下頁 例 5 證 .)1l n (,0 成立試證時(shí)當(dāng) xxx ???),1l n ()( xxxf ???設(shè) .1)( xxxf ???則,0)(),0(,),0[)( ?????? xfxf 可導(dǎo)，且上連續(xù)在?上單調(diào)增加；在 ),0[ ??? ,0)0( ?f?時(shí)，當(dāng) 0?? x ,0)1l n( ??? xx ).1l n ( xx ??即注意 :區(qū)間內(nèi)個(gè)別點(diǎn)導(dǎo)數(shù)為零 ,不影響區(qū)間的單調(diào)性 . 例如 , ,3xy ? ,00 ?? ?xy .),( 上單調(diào)增加但在 ????返回 上頁 下頁 單調(diào)性的判別是拉格朗日中值定理定理的重要應(yīng)用 . 應(yīng)用：利用函數(shù)的單調(diào)性可以確定某些方程實(shí)根的個(gè)數(shù)和證明不等式 . 三、小結(jié) 返回 上頁 下頁 二、 函數(shù)的極值 定義 1 設(shè) f(x)在 x0的某鄰域 U(x0)內(nèi)有定義 .若對(duì)任意 x∈ (x0), 有 f(x)＜ f(x0)[f(x)＞ f(x0)], 則稱 f(x)在點(diǎn) x0處取得 極大值 (極小值 )f(x0),稱為 極大值點(diǎn)(極小值點(diǎn) )． ?U極大值和極小值統(tǒng)稱為極值 ,極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為 極值點(diǎn) 返回 上頁 下頁 .0)(39。,)(39。,)( 000