【文章內容簡介】 分概念 : 若 在點 的某鄰域內可導，則有 f(x)= f(x) 0xf + )())(( 000 xxxxxf ???? ?f(x) 即 從而在點 的某鄰域內， ?0xf )( 0x + ))(( 00 xxxf ??上式表明，如果我們用關于 的一次多項式作為 的函數值，則其誤差是關于 的一個高階無窮小 . 0xx?0xx?f(x)近似公式有兩點不足 : (1) 精度不高； (2) 沒有誤差估計式 . 返回 上頁 下頁 于是，設想用一個關于 的 n次多項式 與一個關于 的高階無窮小來表達函數 ，即使 0xx?nnn xxaxxaxxaaxp )()()()( 0202022 ???????? ?nxx )( 0? f(x) f(x)= nnn xxxxaxxaxxaa )()()()( 00202022 ????????? ??英國數學家泰勒提出并證明了上述設想的正確性 . 顯然 )(00 xfa ? )(, 01 xfa ??!2)(, 02xfa ???如此下去，有 ?,2,1,0! )( 0)(?? kk xfakk返回 上頁 下頁 nnnxxnxfxxxfxxxfxfxp)(!)( )(!2)()(!1)()()(00)(200000????????????從而有 返回 上頁 下頁 泰勒 (Ta ylor) 中值定理 如果函數 )( xf 在含有0x 的某個開區(qū)間 ),( ba 內具有直到 )1( ?n 階的導數 , 則當 x 在 ),( ba內時 , )( xf 可以表示為 )(0xx ? 的一個 n 次多項式與一個余項 )( xRn之和 : )()(!)()(!2)())(()()(00)(200000xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn?????????????其中 10)1()()!1()()( ?? ??? nnn xxnfxR ? ( ? 在0x 與 x 之間 ) . 返回 上頁 下頁 )()(!)()(!2)())(()()(00)(200000xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn?????????????為函數 在點 處的 n階泰勒公式 . f(x)0xx ? 10( 1 ) !nM xxn???≤ 0 0()lim()nnxxRxxx? ?0x nR0()nxx?nR 0()nxx?而且 從而當 x→ 時， (x)是關于 的高階無窮小， (x)?o( ） ,稱這種形式的余項為 皮亞諾余項 np( )作為 的近似值， 由此可見，如果我們用 x 則其誤差有估計式 f(x)()nRx稱 =0， 于是余項又可以表示為 返回 上頁 下頁 稱為 拉格朗日型余項 ? ? )()(!1)()(010)1(之間與在余項 xxxxnfxR nnn ?? ?? ???特別地，當 0x?0時的泰勒公式，又稱為 馬克勞林 公式： 39。39。(0)2!f 2x ()(0)!nnf xn( 1 )1()( 1) !nnf xn?? ?? +? + (ξ在 0與 之間 )， + x xx39。39。(0)2!f 2x ()(0)!nnf xnnx＋ ? ＋ +o( )． x xf( )=f(0)+f′(0) + 或 f( )=f(0)+f′(0) + 返回 上頁 下頁 039。39。( )2!fx 2x () (0)!nnf xn( 1 )1()( 1 ) !nnfx xn?? ??具有拉格朗日型余項的馬克勞林公式也可寫成： +? + + (0＜ θ＜ 1)． f(x)= f(0)+f′(0)x+ 二、 返回 上頁 下頁 exe例 1 寫出函數 的 n階馬克勞林公式，并利用 f(x)= 三階馬克勞林多項式計算 ex ()nf ex( 1 ) ()nfx? ex解 由 ,? ， ， ? , f′（ x)= (x)= ()nf ( 1)nf ? (ξ)? ． f(0)=1,f′（ 0)=1,… ， ?e于是得 ex 的馬克勞林公式為 ex 22!x!nxn1e( 1)!nxn??? +? + + （ 0)=1, =1+x+ (ξ在 0與 x之間 )， ex 22!x!nxn+? + ， ≈1+x+ 誤差為 因此 1e()( 1 ) !xnnR x xn????返回 上頁 下頁 12,n?3,則 取 x= e 12 13! 21()213!31()2 ≈1+ + ＋ ≈1． 6458， 其誤差 11224443 41 e 1 e 1 3 1 1 . 8 1( ) ( ) ( ) ( )2 4 ! 2 4 ! 2 4 ! 2 4 ! 2R?? ? ? ?＜ ＜ ?5 310?． 返回 上頁 下頁 例 2 寫出函數 f(x)=sinx的 n 返回 上頁 下頁 (1 )x ?? ?? ? 2(1 ) ax ??()nf ( ( 1) ， ? ， （ x） ? ， 例 3 求函數 f(x)= 為任意實數 )在 x=0點的泰勒公式． 1)1)(1()1( ????? ???? xn?于是有 ?? ?? ? ( ( ?1)? ( ?n+1),? f(0)=1, f′(0)= ,f″(0)= (0)= (1 )x ??從而得 f(x)= 在 x=0點的泰勒公式為 (1 )x ?? ? ( 1)2!??? 2x ( 1 ) ( 1 )!nn? ? ?? ? ?nx ?1+ +? ＋ +o( )． x+ nx?(1 ) nx? 2( 1)2!nn x? 1nnx? nx特別地，當 ?n(正整數 )時，有 ＋ … ＋ + . =1+nx+ ? 1(1 )x ? ??解 由于 f′(x)= ， f″(x)= 1),… ， ?()nf返回 上頁 下頁 常用函數的麥克勞林公式 )()!12()1(!5!3s in221253??????????nnnxonxxxxx ?)()!2()1(!6!4!21c o s22642nnnxonxxxxx ???????? ?)(1)1(32)1ln (1132???????????nnnxonxxxxx ?)(1112 nnxoxxxx????????)(!)1()1(!2)1(1)1(2nnmxoxnnmmmxmmmxx?????????????返回 上頁 下頁 xyo)( xfy ?xyo)( xfy ?a bAB0)( ?? xf 0)( ?? xf定理 .],[)(0)(),()2(],[)(0)(),(1.),(],[)(上單調減少在那末函數，內如果在上單調增加；在，那末函數內如果在）（導內可上連續(xù)，在在設函數baxfyxfbabaxfyxfbababaxfy???????a bBA一、單調性的判別法 第四節(jié) 函數的單調性與極值 返回 上頁 下頁 證 對任意 x1 , x2 ∈ [a,b], 設 x1 x2 ,由拉格朗日中值定理 ))(()()( 1212 xxfxfxf ???? ?由 f?(x) ＞ 0,得 f?(?) ＞ 0,故 f(x2 )＞ f(x1),(1)得證 .類似地可證 (2). 返回 上頁 下頁 證 因 sinx∈ ( [? /2, ? /2]), (sinx)?=cosx0, x∈ ( ? /2, ? /2), 所以 y=sinx在 [ ? /2, ? /2]上嚴格單調增加 . 例 1 證明 y=sinx 在 [?/2, ? /2]上嚴格單調增加 . 返回 上頁 下頁 例 2 解 .1 的單調性討論函數 ??? xey x.1??? xey?,)0,( 內在 ?? ,0??y函數單調減少；?,),0( 內在 ?? ,0??y .函數單調增加?).,(: ????D?又返回 上頁 下頁 上例中，函數在定義區(qū)間上不是單調的，但在各個部分區(qū)間上單調． 定義 :若函數在其定義域的某個區(qū)間內是單調的，則該區(qū)間稱為函數的 單調區(qū)間 . 導數等于零的點和不可導點，可能是單調區(qū)間的 分界點 ． 方法 : .,)()(0)(數的符號然后判斷區(qū)間內導的定義區(qū)間來劃分函數不存在的點的根及用方程xfxfxf ???二、單調區(qū)間求法 返回 上頁 下頁 例 3 解 .31292)( 23的單調區(qū)間確定函數????xxxxf).,(: ????D?12186)( 2 ???? xxxf )2)(1(6 ??? xx得，解方程 0)( ?? xf .2,1 21 ?? xx時，當 1???? x ,0)( ??f 上單調增加；在 ]1,( ???時，當 21 ?? x ,0)( ?? xf 上單調減少；在 ]2,1[?時，當 ???? x2 ,0)( ?? xf 上單調增加；在 ),2[ ???單調遞增區(qū)間為 ，]1,(?? ，]2,1[).,2[ ?? 單調遞減區(qū)間為 返回 上頁 下頁 例 4 解 .)( 3 2 的單調區(qū)間確定函數 xxf ?).,(: ????D?)0(,3 2)( 3 ??? xxxf.,0 導數不存在時當 ?x時，當 0???? x,0)( ?? xf 上單調增加；在 ),0[ ??? 時，當 ???? x0,0)( ?? xf 上單調減少；在 ]0,( ???單調遞減區(qū)間為 ，]0,(?? ).,0[ ??3 2xy ?單調遞增區(qū)間為 返回 上頁 下頁 例 5 證 .)1l n (,0 成立試證時當 xxx ???),1l n ()( xxxf ???設 .1)( xxxf ???則,0)(),0(,),0[)( ?????? xfxf 可導，且上連續(xù)在?上單調增加；在 ),0[ ??? ,0)0( ?f?時，當 0?? x ,0)1l n( ??? xx ).1l n ( xx ??即注意 :區(qū)間內個別點導數為零 ,不影響區(qū)間的單調性 . 例如 , ,3xy ? ,00 ?? ?xy .),( 上單調增加但在 ????返回 上頁 下頁 單調性的判別是拉格朗日中值定理定理的重要應用 . 應用：利用函數的單調性可以確定某些方程實根的個數和證明不等式 . 三、小結 返回 上頁 下頁 二、 函數的極值 定義 1 設 f(x)在 x0的某鄰域 U(x0)內有定義 .若對任意 x∈ (x0), 有 f(x)＜ f(x0)[f(x)＞ f(x0)], 則稱 f(x)在點 x0處取得 極大值 (極小值 )f(x0),稱為 極大值點(極小值點 )． ?U極大值和極小值統(tǒng)稱為極值 ,極大值點和極小值點統(tǒng)稱為 極值點 返回 上頁 下頁 .0)(39。,)(39。,)( 000