第四章167111導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性(編輯修改稿)
2024-12-23 17:14 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，指出其單調(diào)性． (1) y ＝－ 2 x ＋ cos x ； (2) y ＝ x3－ x . 解： (1)由題意 y′＝－ 2－ sin x， ∵ － 1≤sin x≤1， ∴ y′0，單調(diào)區(qū)間為 (－ ∞，＋ ∞)，且函數(shù) y＝－ 2x＋ cos x在 R上為減少的． (2) 函數(shù)的定義域為 R ， 令 y ′＝ 3 x2－ 10 ，得 x －33或 x 33； 令 y ′＝ 3 x2－ 10 ，得－33 x 33. ∴ y ＝ x3－ x 有三個單調(diào)區(qū)間， 其中在????????－ ∞ ，－33和????????33，＋ ∞ 上分別是增加的，在????????－33，33上是減少的． [例 2] 已知函數(shù) f(x)＝ x3－ ax＋ 6. (1)若函數(shù) f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為 (－ 1,1)，求 a的值和函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間； (2)若函數(shù) f(x)在 (1，＋ ∞)上是增加的，求 a的取值范圍． [思路點撥 ] (1)函數(shù) f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為 (－ 1,1)，即f′(x)0的解集為 (－ 1,1)． (2)函數(shù) f(x)在 (1，＋ ∞)單調(diào)遞增，則 f′(x)≥0在 (1，＋ ∞)上恒成立． [精解詳析 ] (1)由題意 f′(x)＝ 3x2－ a， ∵ 函數(shù) f(x)的一個單調(diào)遞減區(qū)間為 (－ 1,1)． ∴ 3x2－ a0的解集為 (－ 1,1)， 即 3 (177。 1)2－ a＝ 0.∴ a＝ 3. 當(dāng) a＝ 3時， f′(x)＝ 3(x2－ 1)，令 f′(x)0， 則 x1或 x－ 1. ∴ 函數(shù) f(x)的單調(diào)增區(qū)間為 (－ ∞，－ 1)和 (1，＋ ∞) (2)因為函數(shù) f(x)在 (1，＋ ∞)上是增加的， ∴ f′(x)≥0在 (1，＋ ∞)上恒成立， 即 3x2－ a≥0在 (1，＋ ∞)上恒成立． ∴ a≤3x2在 (1，＋ ∞)上恒成立． 令 g(x)＝ 3x2，當(dāng) x∈ (1，＋ ∞)時， g(x)g(1)＝ 3. ∴ a≤3. 當(dāng) a＝ 3時， f′
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