1了解函數單調性和導數的關系,能利用導數研究函數的單(編輯修改稿)
2025-10-07 15:21 本頁面
【文章內容簡介】 )在點 (1， f(1))處的切線的斜率為 3e. (2)f′(x)＝ [x2＋ (a＋ 2)x－ 2a2＋ 4a]ex. 令 f′(x)＝ 0，解得 x＝－ 2a或 x＝ a－ 2. 由 a≠ 知，－ 2a≠a－ 2. 以下分兩種情況討論 . (1)若 a ，則－ 2aa－ 2. 當 x變化時， f′(x)， f(x)的變化情況如下表： x (－ ∞，－ 2a) － 2a (－， a－ 2) a－ 2 (a－ 2，＋ ∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 極大值 極小值 所以 f(x)在 (－ ∞，－ 2a)， (a－ 2，＋ ∞)內是增函數，在 (－ 2a， a－ 2)內是減函數 .函數 f(x)在 x＝－ 2a處取得極大值 f(－ 2a)， 且 f(－ 2a)＝ 3ae－ f(x)在 x＝ a－ 2處取得極小值 f(a－ 2)， 且 f(a－ 2)＝ (4－ 3a)ea－ 2. (2)若 a ，則－ 2aa－ 2. 當 x變化時， f′(x)、 f(x)的變化情況如下表： x (－ ∞， a－ 2) a－ 2 (a－ 2，－2a) － 2a (－ 2a，＋ ∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 極大 值 極小 值 所以 f(x)在 (－ ∞， a－ 2)， (－ 2a，＋ ∞)內是增函數，在 (a－ 2，－ 2a)內是減函數 .函數 f(x)在 x＝ a－ 2處取得極大值 f(a－ 2)，且f(a－ 2)＝ (4－ 3a)ea－ 2. 函數 f(x)在 x＝－ 2a處取得極小值 f(－ 2a)，且 f(－ 2a)＝ 3ae－ 2a. 在第 (1)問的條件下，求 f(x)在 [－ 3,1]上的最值 . 解： 當 a＝ 0時， f(x)＝ x2ex， f′(x)＝ (x2＋ 2x)ex 令 f′(x)＝ 0，則 x＝ 0或 x＝－ x變化時， f′(x)、 f(x)的變化情況如下表： x － 3 (－ 3，－ 2) － 2 (－ 2,0) 0 (0,1) 1 f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 9e－ 3 極大 值 極小值 e ∴ f(x)在 [－ 3,1]上的極大值為 f(－ 2)＝ 4e－ 2，極小值 f(0)＝ 0. 又 ∵ f(－ 3)＝ 9e－ 3， f(1)＝ ∵ e＞ 4e－ 2＞ 9e－ 3＞ 0 ∴ f(x)的最大值為 e，最小值為 0. 在求實際問題中的最大值或最小值時，一般是先設自變量、因變量，建立函數關系式，并確定其定義域，利用求函數的最值的方法求解，注意結果應與實際情況相結合，用導數求解實際問題中的最大 (小 )值時，如果函數在區(qū)間內只有一個極值點，那么依據實際意義，該極值點也就是最值點 . (文 )某工廠每天生產某種產品最多不超過 40件，并且在生產過程中產品的正品率 P與每日生產量 x(x∈ N*)件之間的關系為 P＝ ，每生產一件正品盈利 4000元，每出現一件次品虧損 2020元 .(注：正品率＝產品中的正品件數 247。 產品總件數 100%) (1)將日利潤 y(元 )表示成日產量 x(件 )的函數； (2)求該廠的日產量為多少件時，日利潤最大？并求出日利潤的最大值 . [思路點撥 ] [課堂筆記 ] (1)∵ y＝ － 2020(1－ )x ＝ 3600x－ ， ∴ 所求的函數關系式是 y＝－ ＋ 3600x(x∈ N*,1≤x≤40). (2)顯然 y′＝ 3600－ y′＝ 0，解得 x＝ 30. ∴ 當 1≤x30時， y′0；當 30x≤40時， y′0. ∴ 函數 y＝－ ＋ 3600(x∈ N*,1≤x≤40)在 [1,30)上是單 調遞增函數，在 (30,40]上是單調遞減函數 . ∴ 當 x＝ 30時，函數 y＝－ ＋ 3600x(x∈ N*,1≤x≤40) 取得最大值，最大值為－ 303＋ 3600 30＝ 72020(元 ). ∴ 該廠的日產量為 30件時，日利潤最大，其最大值為 72020元 . (理 )(2020山東高考 )兩縣城 A和 B相距 20 km，現計劃在兩縣城外以 AB為直徑的半圓弧 上選擇一點 C建造垃圾處理廠，其對城市的影響度與所選地點到城市的距離有關，對城 A和城 B的總影響度為對城 A與城 B的影響度之和 .記 C點到城 A的距離為 x km，建在 C處的垃圾處理廠對城A和城 B的總影響度為 ：垃圾處理廠對城 A的影響度與所選地點到城 A的距離的平方成反比，比例系數為 4；對城 B的影響度與所選地點到城 B的距離的平方成反比，比例系數為 的中點時，對城 A和城 B的總影響度為 . (1)將 y表示成 x的函數； (2)討論 (1)中函數的單調性，并判斷弧 上是否存在 一點，使建在此處的垃圾處理廠對城 A和城 B的總影響 度最?。咳舸嬖?，求出該點到城 A的距離；若不存在， 說明理由 . [思路點撥 ] [課堂筆記 ] (1)根據題意 ∠ ACB＝ 90176。 ， AC＝ x km， BC＝ km， 且建在 C處的垃圾處理廠對城 A的影響度為 ，對城 B的影響度為 ， 因此，總影響度 y＝ ＋ (0＜ x＜ 20). 又因為垃圾處理廠建在弧 的中點時，對城 A和城 B的總影響度為 ， 所以 ＝ ， 解得 k＝ 9，所以 y＝ (0＜ x＜ 20). (2)因為 y′＝－ ＝ ＝
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