拉格朗日中值定理(編輯修改稿)
2025-07-25 19:49 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ，例如令或，通過使，確定出，即可得到所需的輔助函數(shù). 例如由 ，令 得，從而，而可取任意實(shí)數(shù)，這樣我們就得到了輔助函數(shù)，由的任意性易知迭加法可構(gòu)造出無數(shù)個輔助函數(shù)，這些函數(shù)都可用于證明拉格朗日中值定理. 用行列式引入輔助函數(shù)法證明 構(gòu)造一個含且滿足羅爾中值定理的函數(shù)，因此可設(shè)易證，展開得.因?yàn)樵陂]區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，所以在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且，所以由羅爾中值定理知，至少存在一點(diǎn)，使得. 因?yàn)榧矗? 數(shù)形相結(jié)合法引理 在平面直角坐標(biāo)系中，已知三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，則面積為，這一引理的證明在這里我們不做介紹，下面我們利用這一引理對拉格朗日中值定理作出一種新的證明. 這種方法是將數(shù)形相結(jié)合， 設(shè)是直線與從點(diǎn)開始的第一個交點(diǎn)，則構(gòu)造，易驗(yàn)證滿足羅爾中值定理的條件：在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，而且，則至少存在一點(diǎn)，使，即： 但是，這是因?yàn)?，如果，則，這樣使得成為直線與從點(diǎn)的第一個交點(diǎn)，與已知矛盾）. 故，即. 若只從滿足羅爾中值定理的要求出發(fā)，我們可以擯棄許多限制條件，完全可以構(gòu)造來解決問題，從而使形式更簡潔，而且啟發(fā)我們做進(jìn)一步的推廣：可構(gòu)造來證明柯西中值定理. 區(qū)間套定理證法證明 將區(qū)間二等分，設(shè)分點(diǎn)為，作直線，它與曲線 相交于，過作直線∥弦. 此時，有如下兩種可能:⑴ 若直線與曲線僅有一個交點(diǎn)，則曲線必在直線 ，直線不平行于直線. 由于曲線在點(diǎn)處有切線，根據(jù)曲線上一點(diǎn)切線的定義，直線就是曲線在點(diǎn)處的切線，在區(qū)間內(nèi)部，取于是有 ⑵ 若直線與曲線還有除外的其他交點(diǎn)，設(shè)為另外一個交點(diǎn)，這時選取以為端點(diǎn)的區(qū)間，記作，有
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