微分中值定理證明與應用分析(編輯修改稿)
2025-07-26 13:13 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 定理的幾何意義:若將函數(shù)的曲線置于平面直角坐標系,則費馬定理具有幾何意義:對曲線上,若有一點存在切線,.證明方法：,則,有.若,則。若,則。取極限:與分別為、由于在處可導,則==.由極限的局部保號性有:, .故 == .所以有 即 羅爾定理若在上連續(xù)，在內(nèi)可導，且，則至少存在一點使。羅爾定理的幾何意義：羅爾定理的三個已知條件的意義：⒈在上連續(xù)表明曲線連同端點在內(nèi)是無縫隙的曲線；⒉在內(nèi)可導表明曲線在每一點處有切線存在；⒊表明曲線的割線（直線AB）平行于軸 羅爾定理的結(jié)論的直幾何意義是：在（a,b）內(nèi)至少能找到一點，使，表明曲線上至少有一點的切線斜率為0，從而切線平行于割線AB，與軸平行。 羅爾定理的證明：根據(jù)是閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，由極值定理得在 上有最大值和最小值。 ，此時在上恒為常數(shù)，結(jié)論顯然成立。 ，由條件知，兩個數(shù)M，m中至少有一個不等于端點的函數(shù)值，不妨設（如果設，證法完全類似），那么必定在開區(qū)間內(nèi)有一點使。法1：因此，有，由費馬引理可知。法2：由于在ξ處最大，故不論是正或負，總有,因此，當時，故由極限的保號性有 （1）而當時，故 （2）由(1)，(2)兩式及存在知，必有。拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理的內(nèi)容： 若函數(shù)滿足:(1) 在閉區(qū)間上連續(xù)。 (2) 在開區(qū)間內(nèi)可導。 則至少存在一點使得 .拉格朗日定理的幾何意義:如圖所示,過,兩點的直線斜率,而拉格朗日定理則表明了存在于曲線上的,兩點某點的切線必定平行于直線.拉格朗日中值定理的證明： 利用羅爾中值定理,構(gòu)造輔助函數(shù). .證明 作輔助函數(shù) 顯然,在上連續(xù), 在內(nèi)可導,且,由羅爾定理可知,存在一點 使得 即 推論 設、都在區(qū)間上可導,且,則 柯西中值定理柯西中值定理的內(nèi)容： 設函數(shù)、滿足: (1) 在閉區(qū)間上連續(xù)。 (2) 在開區(qū)間內(nèi)可導,且。 則至少存在一點 使得 .柯西中值定理的證明：由定理條件可知,則存在使得,因此,只需證 .為此,構(gòu)造函數(shù) ,顯然,在上連續(xù),在內(nèi)可導,且根據(jù)羅爾定理,存在使得即 所以,.4 定理的推廣前面我們已經(jīng)討論了定理之間的關(guān)系，接下來我們來看它們的推廣。從前面的內(nèi)容我們知道，這三個定理都要求函數(shù)在上是連續(xù)，在內(nèi)是可導。那么我們?nèi)绻讯ɡ碇械拈]區(qū)間，把它推廣到無限區(qū)間或，再把開區(qū)間推廣到無限區(qū)間或的話，則這些定理是否還能滿足條件，或者我們能得出哪些相應的定理呢？
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